توزیع دریکله عمومی

توزیع دریکله عمومی یک توزیع پیوسته در آمار است که عمومی شده توزیع دریکله است و به اندازه دو برابر آن پارامتر دارد. تابع چگالی $p_1,\ldots,p_{k-1}$ برابر است با:

$\left[ \prod_{i=1}^{k-1}B(a_i,b_i)\right]^{-1} p_k^{b_{k-1}-1} \prod_{i=1}^{k-1}\left[ p_i^{a_i-1}\left(\sum_{j=i}^kp_j\right)^{b_{i-1}-(a_i+b_i)}\right]$

که در آن تعریف می‌کنیم $p_k= 1- \sum_{i=1}^{k-1}p_i$.

تابع عمومی لحظه

اگر $X=\left(X_1,\ldots,X_k\right)\sim GD_k\left(\alpha_1,\ldots,\alpha_k;\beta_1,\ldots,\beta_k\right)$ آنگاه

$E\left[X_1^{r_1}X_2^{r_2}\cdots X_k^{r_k}\right]= \prod_{j=1}^k \frac{ \Gamma\left(\alpha_j+\beta_j\right) \Gamma\left(\alpha_j+r_j\right) \Gamma\left(\beta_j+\delta_j\right) }{ \Gamma\left(\alpha_j\right) \Gamma\left(\beta_j\right) \Gamma\left(\alpha_j+\beta_j+r_j+\delta_j\right) }$

که $\delta_j=r_{j+1}+r_{j+2}+\cdots +r_k$. بنابراین

$E\left(X_j\right)=\frac{\alpha_j}{\alpha_j+\beta_j}\prod_{m=1}^{j-1}\frac{\beta_m}{\alpha_m+\beta_m}.$

منابع

1. http://www.nscb.gov.ph/ncs/9thncs/papers/theory_Generalization.pdf