توزیع هندسی

هندسی

پارامترها	$0<p \leq 1$ احتمال پیروزی (حقیقی)
‫تکیه‌گاه	$k \in \{1,2,3,\dots\}\!$
تابع چگالی احتمال	$(1 - p)^{k-1}\,p\!$
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)	$1-(1 - p)^k\!$
میانگین	$\frac{1}{p}\!$
میانه	$\left\lceil \frac{-\log(2)}{\log(1-p)} \right\rceil\!$ (در صورتی که $-\log(2)/\log(1-p)$ عددی طبیعی باشد میانه یکتا نیست.)
مُد	1
واریانس	$\frac{1-p}{p^2}\!$
چولگی	$\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!$
کشیدگی	$6+\frac{p^2}{1-p}\!$
انتروپی	$-\frac{1-p}{p}\ln(1-p)-\ln p\!$
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)	$\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!$
تابع مشخصه	$\frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\!$

توزیع هندسی، توزیعی است گسسته که بیانگر احتمال اولین پیروزی پس از k-1 شکست در فرایند برنولی می‌باشد

$p_X(k) = \text{P}\{X = k\} = (1 - p)^{k-1}\,p$

که در آن p احتمال پیروزی در یک دفعه است.

اثبات

می دانیم شرط لازم و کافی برای X=n آن است که ابتدا،n-1 آزمایش شکست و n اُمین آزمایش موفقیت باشد. از آنجا که برآمدهای متوالی آزمایش ها بنا به فرض مستقل هستند داریم  :

$p_X(k) = \text{P}\{X=n\}=p (1-p)^{n-1}$

هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال بصورت بالا باشد را یک متغیر (فرایند) تصادفی هندسی با پارامتر p می نامیم.

$\sum_{n=1}^\infty \text{Pr}\{X=n\}=p \sum_{n=1}^\infty (1-p)^{n-1}=\frac{p}{1-(1-p)}=1$

در نتیجه با احتمال ۱، یک موفقیت بالاخره اتفاق می افتد.

چند مثال ساده

• فرض کنیم می خواهیم رمز عبور 8 کاراکتری یک کامپیوتر را حدس بزنیم. چند مرتبه باید این کار را تکرار کنیم؟
• فرض کنیم یک دارو به احتمال p سبب درمان شود، دارو روی چندمین بیمار موثر واقع می‌شود؟
• فرض کنیم احتمال برد یک تیم p باشد، چند مرتبه این تیم باید بازی کند تا یک بازی را ببرد ؟

امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی

قصیه: امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با

$\text{E}[X]=\frac{1}{p}$

اثبات

می دانیم $p_X(k)=(1-p)^{k-1}p$ بنابراین برای محاسبه امید ریاضی می‌بایست عبارت زیر را محاسبه کنیم

$\text{E}[X]=\sum_{x}x p_X(x)$

پس با ترکیب دو رابطه ی بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم

$\text{E}[X]=\sum_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}p$

حال اگر فرض کنیم

$F(p)=\sum_{k=0}^\infty (1-p)^{k}=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}$

داریم

$\frac{dF(p)}{dp}=-\sum_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}=-\frac{1}{p^{2}}$

در نتیجه

$\text{E}[X]=p\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}$

واریانس متغیر تصادفی هندسی

قضیه: واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با

$\text{var}[X]=\frac{1-p}{p^{2}}$

اثبات

فرض می کنیم پیشامد $A= \{X=1\}$ و پیشامد $B= \{X>1\}$ با توجه به اینکه A و B افرازهای فضای نمونه ی ما هستند، داریم

$\text{E}[X^2]=\text{E}[X^2|A] \text{P}(A) + \text{E}[X^2|B] \text{P}(B)$

می‌دانیم

$\text{E}[X^{2}|A]=\text{E}[X^{2}|X=1]=1$

و

$\text{E}[X^{2}|B]=\text{E}[X^{2}|X>1]=\text{E}[(X+1)^{2}]=\text{E}[X^{2}+2X+1]=\text{E}[X^{2}]+\frac{2}{p}+1$

بنابراین

$\text{E}[X^{2}]=1\times p + \left( \text{E}[X^{2}]+\frac{2}{p}+1 \right)(1-p)$

$\text{E}[X^{2}]=\frac{2-p}{p^{2}}$

در نهایت از آنجا که $\text{var}[X]=\text{E}[X^{2}]-(\text{E}[X])^{2}$ داریم

$\text{var}[X]=\frac{2-p}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1-p}{p^{2}}$

متغیر تصادفی هندسی بدون حافظه است !

فرض کنیم می دانیم تعداد دفعاتی که سکه ای را اندخته ایم از n بیشتر است، احتمال اینکه سکه را بیش از n+m دفعه بی اندازیم تا شیر بیاید چقدر است ؟

$P(X>n+m|X>n)=\frac{P((X>n+m) \cap (X>n))}{P(X>n)}=\frac{P(X>n+m)}{P(X>n)}=\frac{(1-p)^{n+m}}{(1-p)^{n}}=(1-p)^{m}$

پس تنها m بار پرتاب بعدی اهمیت دارد و n بار پرتاب اولیه بی ارزش می شود.

همچنین می توان ثابت کرد اگر یک متغیر تصادفی گسسته بی حافظه باشد، هندسی است.(عکس قضیه)

منابع

• Wikipedia contributors, "Geometric distribution," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometric_distribution&oldid=340890918 (accessed January 30, 2010).
• Introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
• A First Course In Probability 8Edition-Sheldon Ross
• Athanasios Papoulis-probability and statistics