وردایی

‫:«پراش» به این صفحه تغییر مسیر پیدا می‌کند. برای دیگر کاربردها پراش (ابهام‌زدایی) را ببینید.

در نظریه احتمالات و آمار واریانس یا وردایی (به انگلیسی: Variance) نوعی سنجش پراکندگی است.

مقدار واریانس با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل و یا مشاهده شده با مقدار مورد انتظار محاسبه می‌شود. در مقایسه با میانگین می‌توان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که واریانس مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش شده‌اند. واریانس کمتر بدین معنا است که انتظار می‌رود که اگر نمونه‌ای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. یکای واریانس مربع یکای کمیت اولیه می‌باشد. ریشه دوم واریانس که انحراف معیار نامیده می‌شود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است.

‫تعریف

اگر $\mu= \operatorname{E}( X )$، امید ریاضی (میانگین) متغیر تصادفی X باشد، آنگاه واریانس X برابر خواهد بود با:

$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2 ]\,$

$\begin{align}\operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}[(X - \mu)^2] \\&= \operatorname{E}[X^2 - 2\mu X + \mu^2] \\ &= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu\,\operatorname{E}[X] + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2. \end{align}$

حالت پیوسته

$\operatorname{Var}(X) =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,,$

و

$\mu = \int x \, f(x) \, dx\,,$

خواص

$\operatorname{Var}(aX+b)=\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X).$

$\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\, \operatorname{Cov}(X,Y),$

$\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),$

واژه شناسی

فرهنگستان زبان وردیدن، از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای واریانس برگزیده است و از این فعل مشتقات وردش(variation)، وردا(variant)، هم‌وردا(covariant)، ناوردا(invariant)، پادوردا(contravariance) را برساخته است.

‫تخمین واریانس یک تابع

$\operatorname{Var}\left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname{E}\left[X\right])\right)^2\operatorname{Var}\left[X\right]$

جستارهای وابسته

• امید ریاضی
• چولگی
• کشیدگی (کورتزیس)

منبع

page 117,43 introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Variance»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۲ فوریه ۲۰۰۸).