تابع مشخصه

شکل(11) نمودار پیکانی تابع مشخصه A در X

فرض کنید X مجموعه‌ای ناتهی و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت تابع مشخصه A در X، یعنی $\mathcal{\chi}_A:X\to \{0,1\}$(بخوانید خی A) را برای هر x∈X به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\mathcal{\chi}_A(x)=\begin{cases} 1 &\ x\in A \\ 0 &\ x\in X-A \end{cases}$

البته انتخاب مجموعه {0,1} هر چند معمول‌تر است ولی الزامی نیست و می‌توان هر مجموعه دو عضوی دیگر را نیز انتخاب کرد. این تابع به هر عضو مجموعه A عدد یک و به هر عضو X-A یعنی عناصری که متعلق به X هستند ولی به A تعلق ندارند مقدار صفر رانسبت می‌دهد. وجه تسمیه این تابع این است که عناصری زیرمجموعه A از X را از سایر عناصری که در A قرار ندارند جدا می‌کند.

نمونه‌ای از یک تابع مشخصه معروف تابع دیریکله است که همان تابع مشخصه Q(اعداد گویا) در R(اعداد حقیقی) است که آن را با D نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

$D(x)=\begin{cases} 1 &\ x\in \mathbb{Q} \\ 0 &\ x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}$

به سادگی می‌توان نشان داد این تابع در هیچ‌یک از نقاط دامنه خود پیوسته نیست.