توزیع گاما

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
گاما
پارامترها k> 0\, شکل (حقیقی)
مقیاس (حقیقی)  \theta> 0 \,
‫تکیه‌گاه x \in [0; \infty)\!
تابع چگالی احتمال x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف) \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!
میانگین k \theta\,\!
میانه رابطه ساده صریح برای این پارامتر وجود ندارد
مُد (k-1) \theta\text{ for }k \geq 1\,\!
واریانس k \theta^2\,\!
چولگی \frac{2}{\sqrt{k}}\,\!
کشیدگی \frac{6}{k}\,\!
انتروپی k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!
+ (1-k)\psi(k) \!
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف) (1 - \theta\,t)^{-k}\text{ for }t <1/\theta\,\!
تابع مشخصه (1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!

توزیع گاما یکی از توزیع‌های احتمالی پیوسته است و دارای دو پارامتر مقیاس θ، و پارامتر شکل k می‌باشد. اگر k عددی طبیعی باشد آنگاه توزیع گاما معادل است با مجموع k متغیر تصادفی با توزیع نمایی با پارمتر \frac{1}{\theta}.

تعریف[ویرایش]

تابع چگالی احتمال:

 f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} 
 \ \mathrm{ for }\ x> 0\,\, \mathrm{ and }\,\, k, \theta> 0.

که در آن  \Gamma تابع گاما، θ پارامتر مقیاس، و k پارامتر شکل می‌باشند.

تابع گاما، انتگرالی همگراست و مقدار آن برابر با عددی مثبت است:

\Gamma (k)= \int_{0}^{\infty} y^{k-1}.exp(-y)\, dy , k>0.

ویژگی‌ها[ویرایش]

هرگاه k (پارامتر شکل) یک عدد صحیح و مثبت چون n باشد، می‌توان از توزیع گاما برای تخمین زدن مدت‌زمان لازم برای روی‌دادن n پیشامد استفاده نمود.

توزیع مجموع[ویرایش]

اگر X_i\sim\Gamma  \left(k_i, \theta \right) اگر n متغیر دو به دو مستقل از هم باشند، آنگاه:


\sum_{i=1}^N X_i
\sim
\Gamma  \left( \sum_{i=1}^N k_i, \theta \right) \,\!

در نتیجه توزیع گاما بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.

تخمین[ویرایش]

پارامترها[ویرایش]

تولید عدد تصادفی با توزیع گاما[ویرایش]

توزیع‌های مرتبط[ویرایش]

هرگاه k=۱ شود، حالت خاصی از توزیع گاما به وجود می‌آید که توزیع نمایی نامیده می‌شود.


منابع[ویرایش]