توزیع گاما

برای دیگر کاربردها، گاما (ابهام‌زدایی) را ببینید.

گاما

پارامترها	$k> 0\,$ ‫شکل (‫حقیقی) ‫مقیاس (‫حقیقی) $\theta> 0 \,$
‫تکیه‌گاه	$x \in [0; \infty)\!$
تابع چگالی احتمال	$x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!$
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)	$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!$
میانگین	$k \theta\,\!$
میانه	‫رابطه ساده صریح برای این پارامتر وجود ندارد
مُد	$(k-1) \theta\text{ for }k \geq 1\,\!$
واریانس	$k \theta^2\,\!$
چولگی	$\frac{2}{\sqrt{k}}\,\!$
کشیدگی	$\frac{6}{k}\,\!$
انتروپی	$k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!$ $+ (1-k)\psi(k) \!$
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)	$(1 - \theta\,t)^{-k}\text{ for }t <1/\theta\,\!$
تابع مشخصه	$(1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!$

‫توزیع گاما یکی از توزیع‌های احتمالی پیوسته است ‫و دارای دو پارامتر مقیاس θ، و پارامتر شکل k می‌باشد. اگر k عددی طبیعی باشد آنگاه توزیع گاما معادل است با مجموع k متغیر تصادفی با توزیع نمایی با پارمتر $\frac{1}{\theta}$.

تعریف

تابع چگالی احتمال:

$f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} \ \mathrm{ for }\ x> 0\,\, \mathrm{ and }\,\, k, \theta> 0.$

‫که ‫در آن $\Gamma$ تابع گاما، θ پارامتر مقیاس، و k پارامتر شکل ‫می‌باشند.

تابع گاما، انتگرالی همگراست و مقدار آن برابر با عددی مثبت است:

$\Gamma (k)= \int_{0}^{\infty} y^{k-1}.exp(-y)\, dy , k>0.$

ویژگی‌ها

هرگاه k (پارامتر شکل) یک عدد صحیح و مثبت چون n باشد، می‌توان از توزیع گاما برای تخمین زدن مدت‌زمان لازم برای روی‌دادن n پیشامد استفاده نمود.

توزیع مجموع

اگر $X_i\sim\Gamma \left(k_i, \theta \right)$ اگر n متغیر دو به دو مستقل از هم باشند، آنگاه:

$\sum_{i=1}^N X_i \sim \Gamma \left( \sum_{i=1}^N k_i, \theta \right) \,\!$

در نتیجه توزیع گاما بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.

توزیع‌های مرتبط

هرگاه k=۱ شود، حالت خاصی از توزیع گاما به وجود می‌آید که توزیع نمایی نامیده می‌شود.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Gamma distribution»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۱ فوریه ۲۰۰۸).
• اخوان نیاکی، دکتر سید تقی، نظریه احتمال و کاربرد آن (ویرایش دوم)، مؤسسهٔ انتشارات دانشگاه صنعتی شریف، صص 334 - 332، ISBN 978-964-7982-80-1.