توزیع برنولی

برنولی

پارامترها	$p>0\,$ شانس موفقیت (حقیقی)
‫تکیه‌گاه	$k=\{0,1\}\,$
تابع چگالی احتمال	$\begin{matrix} q & \mbox{for }k=0 \\p~~ & \mbox{for }k=1 \end{matrix}$
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)	$\begin{matrix} 0 & \mbox{for }k<0 \\q & \mbox{for }0\leq k<1\\1 & \mbox{for }k\geq 1 \end{matrix}$
میانگین	$p\,$
میانه	N/A
مُد	$\begin{matrix} 0 & \mbox{if } q> p\\ 0, 1 & \mbox{if } q=p\\ 1 & \mbox{if } q <p \end{matrix}$
واریانس	$pq\,$
چولگی	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
کشیدگی	$\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$
انتروپی	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)	$q+pe^t\,$
تابع مشخصه	$q+pe^{it}\,$

توزیع برنولی، توزیعی گسسته است که نام آن از نام دانشمند سوئیسی ژاکوب برنولی گرفته شده است. توزیع برنولی یک توزیع گسسته است که مقادیر $1$ (در صورت موفقیت آزمایش ) و $0$ را در صورت شکست میگیرد.احتمال موفقیت آزمایش برابر $p$ است و احتمال شکست آن برابر $q=1-p$ است.بنابراین اگر X یک متغیر تصادفی با توزیع برنولی باشد داریم :

$\Pr(X=1) =\!$ $\; 1 - \Pr(X=0) =\!$ $1 - q = p.\!$

و تابع توزیع (pmf) آن به صورت زیر خواهد بود.

 $f(k;p) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {if }k=1, \\ 1-p & \mbox {if }k=0, \\ 0 & \mbox {otherwise.}\end{matrix}\right.$

امید ریاضی این توزیع برابر $p$ و واریانس آن برابر $p(1-p)$ است.

کشیدگی این توزیع برای مقادیر $p$ نزدیک به $0$ یا $1$ به سمت بی نهایت میل می کند و برای $p=0.5$ کمترین مقدار کشیدگی را خواهیم داشت.

توزیع برنولی جز خانواده نمایی طبقه بندی می شود.

توزیع های مرتبط

اگر $X_1,..,X_n$ متغیرهای تصادفی با توزیع برنولی با ‍پارامتر یکسان و مستقل باشند آنگاه متغیر تصادفی $Y = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)$ یک توزیع دوجمله ای خواهد بود.در واقع توریع برنولی همان توزیع دوجمله ای با پارامتر $n=1$ یعنی $\mathrm{Binomial}(1,p)$ خواهد بود.

منابع

• Bernoulli distribution. (2007, December 1). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 07:54, July 4, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bernoulli_distribution&oldid=431746352