توزیع برنولی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
برنولی
پارامترها p>0\, شانس موفقیت

(حقیقی)

تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی
‫تکیه‌گاه k=\{0,1\}\,
تابع چگالی احتمال 
    \begin{matrix}
    q & \mbox{for }k=0 \\p~~ & \mbox{for }k=1
    \end{matrix}
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف) 
    \begin{matrix}
    0 & \mbox{for }k<0 \\q & \mbox{for }0\leq k<1\\1 & \mbox{for }k\geq 1
    \end{matrix}
میانگین p\,
میانه N/A
مُد \begin{matrix}
0 & \mbox{if } q> p\\
0, 1 & \mbox{if } q=p\\
1 & \mbox{if } q <p
\end{matrix}
واریانس pq\,
چولگی \frac{q-p}{\sqrt{pq}}
کشیدگی \frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}
انتروپی -q\ln(q)-p\ln(p)\,
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف) q+pe^t\,
تابع مشخصه q+pe^{it}\,

توزیع برنولی، توزیعی گسسته است که نام آن از نام دانشمند سوئیسی ژاکوب برنولی گرفته شده است. توزیع برنولی یک توزیع گسسته است که مقادیر یک (در صورت موفقیت آزمایش ) و صفر را (در صورت شکست) می‌گیرد. احتمال موفقیت آزمایش برابر p است و احتمال شکست آن برابر q=1-p است. بنابراین اگر X یک متغیر تصادفی با توزیع برنولی باشد داریم:

 \Pr(X=1) =\! \; 1 - \Pr(X=0) =\!  1 - q = p.\!

و تابع توزیع (pmf) آن به صورت زیر خواهد بود:

 f(k;p) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {if }k=1, \\
1-p & \mbox {if }k=0, \\
0 & \mbox {otherwise.}\end{matrix}\right.

امید ریاضی این توزیع برابر p و واریانس آن برابر (p(1-p است.

کشیدگی این توزیع برای مقادیر p نزدیک به صفر یا یک، به سمت بی نهایت میل می‌کند و برای p=۰٫۵ کمترین مقدار کشیدگی را خواهیم داشت.

توزیع برنولی جزء خانواده نمایی طبقه‌بندی می‌شود.

توزیع‌های مرتبط[ویرایش]

اگر  X_1,..,X_n متغیرهای تصادفی با توزیع برنولی با پارامتر یکسان و مستقل باشند، آنگاه متغیر تصادفی Y = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p) یک توزیع دوجمله‌ای خواهد بود. در واقع توزیع برنولی همان توزیع دوجمله‌ای با پارامتر n=۱ یعنی \mathrm{Binomial}(1,p) خواهد بود. در واقع، تابع چگالی توزیع برنولی به صورت f(x)=px (1-p)n-x می‌باشد.

منابع[ویرایش]