توزیع نرمال

توزیع نرمال

پارامترها	$\mu$ مکان (حقیقی) $\sigma^2>0$ توان دوم مقیاس (حقیقی)
‫تکیه‌گاه	$x \in (-\infty;+\infty)\!$
تابع چگالی احتمال	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
میانگین	$\mu$
میانه	$\mu$
مُد	$\mu$
واریانس	$\sigma^2$
چولگی	0
کشیدگی	0
انتروپی	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
تابع مشخصه	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

این مقاله در مورد توزیع نرمال تک متغیره است. برای مشاهدهء توزیع بردارهای نرمال، توزیع نرمال چند متغیره را مشاهده کنید.

توزیع نرمال ، یکی از مهمترین توزیع‌های احتمالی پیوسته در نظریه احتمالات است. علت نام‌گذاری و همچنین اهمیت این توزیع، هم‌خوانی بسیاری از مقادیر حاصل شده، هنگام نوسان‌های طبیعی و فیزیکی پیرامون یک مقدار ثابت با مقادیر حاصل از این توزیع است. دلیل اصلی این پدیده، نقش توزیع نرمال در قضیهٔ حد مرکزی است. به زبان ساده، در قضیهٔ حد مرکزی نشان داده میشود که تحت شرایطی، مجموع مقادیر حاصل از متغیرهای مختلف که هرکدام میانگین و پراکندگی متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است. این قانون که تحت شرایط و مفروضات طبیعی نیز برقرار است، سبب شده که برایند نوسان‌های مختلفِ تعداد زیادی از متغیرهای ناشناخته، در طبیعت به صورت توزیع نرمال آشکار شود. بعنوان مثال، با اینکه متغیرهای زیادی بر میزان خطای اندازه‌گیریِ یک کمیت اثر میگذارند، (مانند خطای دید، خطای وسیله اندازه‌گیری، شرایط محیط و ...) اما با اندازه‌گیری های متعدد، برایند این خطاها همواره دارای توزیع نرمال است که حول مقدار ثابتی پراکنده شده است.مثال‌های دیگری از این نوسان‌های طبیعی، طول قد، وزن یا بهرهٔ هوشی افراد است.

این توزیع گاهی به دلیل استفادهٔ کارل فردریک گاوس از آن در کارهای خود با نام توزیع یا تابع گوسی (گاوسی) نامیده می‌شود؛ همچنین به دلیل شکل تابع احتمال این توزیع، با نام انحنای زنگوله‌ای (زنگدیس) نیز معروف است.

تابع احتمال این توزیع دارای دو پارامتر است که یکی تعیین کنندهٔ مکان (μ) و دیگری تعیین کنندهٔ مقیاس (σ) توزیع هستند. همچنین میانگین توزیع با پارامتر مکان و پراکندگی آن با پارامتر مقیاس برابر است. منحنی تابع احتمال حول میانگین توزیع متقارن است. در حالت خاص اگر μ = 0 و σ = 1 باشد توزیع، نرمال استاندارد نامیده می‌شود.

مشخصات

خصوصیات مختلفی که معمولاً برای شناسایی و توصیف یک توزیع به کار برده می‌شود، عبارتند از:تابع توزیع (چگالی) احتمال، تابع توزیع تجمعی، گشتاورها، تابع مشخصه و تابع مولد گشتاور. در جدول سمت چپ، این مشخصات خلاصه شده‌است. در این بخش، جزئیات بیشتری در مورد این خصوصیات ذکر می‌شود.

تابع چگالی احتمال

تابع چگالی احتمال توزیع نرمال با پارامترهای μ و σ² به صورت زیر است :

$f(x;\,\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \, e^{-(x-\mu)^2\!/(2\sigma^2)}, \qquad x\in\mathbb{R}.$

• تابع (ƒ(x تابعی متقارن حول x = μ است؛ همچنین این نقطه میانگین، مد و میانهء توزیع است.
• نقاط عطف این منحنی، x = μ − σ و x = μ + σ است.
• این تابع بینهایت بار مشتق پذیر است.

گشتاورها

گشتاورهای توزیع نرمال از هر مرتبه‌ای تعریف شده‌اند. یعنی E|X|^p برای هر p که Re[p]> −1 وجود دارد.

• $\mathrm{E}\big[(X-\mu)^p\big] = \begin{cases} 0 & \text{if }p\text{ is odd,} \\ \sigma^p\,(p-1)!! & \text{if }p\text{ is even.} \end{cases}$

(تمام گشتاورهای مرکزی مرتبه فرد صفرند)

• $\operatorname{E}\big[|X-\mu|^p\big] = \sigma^p(p-1)!! \cdot \begin{cases} \sqrt{2/\pi} & \text{if }p\text{ is odd}, \\ 1 & \text{if }p\text{ is even}. \end{cases}$

ترکیبات خطی

اگر $X \sim N(\mu, \sigma^2)\,\!$ و a,b هر دو از اعداد حقیقی باشند، آنگاه $a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2)\,\!$
اگر $X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)$ و $Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ متغیرهای تصادفی نرمال مستقل باشند آنگاه:

• مجموع آنها دارای توزیع نرمال است: $U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$.
• اختلاف آنها نیز دارای توزیع نرمال است: $V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$.
• اگر واریانس $X$ و $Y$ یکی باشد، آنگاه $U$ و $V$ از هم مستقل هستند.

خصوصیات

قسمت آبی تیره در فاصلهٔ یک برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارد و قسمت آبی روشن و آبی تیره به طور توام، در فاصلهٔ دو برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارند. در توزیع نرمال، اولی برابر با ۶۸٪ سطح زیر نمودار و دومی برابر با ۹۵٪ سطح زیر نمودار است.

تقریباً ۶۸٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از یک برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند. تقریباً ۹۵٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از دو برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند.

محاسبهٔ احتمال متغیرهای نرمال نااستاندارد

اگر X یک توزیع نرمال نااستاندارد با انحراف معیار σ^۲ و امیدریاضی μ باشد، می‌توان ثابت کرد تبدیل زیر از X یک توزیع نرمال استاندارد می‌سازد:

$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

مثال

$X\sim N(2,9)$

$P(X<3)=?$

جواب به این صورت محاسبه‌پذیر است:

$P(X<3)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{3-2}{3})\approx P(Z<0.33)=0.6293$

(مقدار ‎P(Z<0.33)‎ از روی جداول چگالی توزیع نرمال استاندارد و یا با محاسبهٔ مستقیم سطح زیر نمودار آن از بازهٔ منفی بینهایت تا ۰٫۳۳ بدست می‌آید)

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ توزیع نرمال موجود است.