نرخ خرابی

نرخ خرابی (به انگلیسی: Failure rate)‏ میزانی برای سنجیدن خرابی یک سیستم یا مولفه ی مهندسی است،که اغلب بوسیله ی حرف یونانی λ (لاندا) نشان داده می شود.

نرخ خرابی یک سیستم معمولاً به زمان چرخه حیات آن سیستم بستگی دارد. به عنوان مثال نرخ خرابی یک اتومبیل در پنجمین سال کارکرد آن ممکن است بسیار بیشتر از نرخ خرابی آن در سال اول کارکرد آن باشد.

درعمل میانگین زمان بین خرابی اغلب به جای نرخ خرابی به کار می رود. این عمل در صورتی صحیح و قابل استفاده است که نرخ خرابی ثابت باشد.

تابع نرخ خرابی

تابع نرخ خرابی برای توزیع نمایی

تعداد کل شکست ها (خرابی ها) برای یک جمعیت، تقسیم بر مجموع مدت زمان صرف شده توسط این جمعیت، در طول یک بازه اندازه گیری خاص تحت شرایط معین.

همچنین نرخ خرابی $\lambda (t)$ را می توان احتمال رخ دادن خرابی در یک بازه ی زمانی مشخص، که قبل از زمان $t$ بدون خرابی بوده است، دانست.

نرخ خرابی در اصل یک احتمال نیست، زیرا مقدار آن می تواند از یک فراتر رود، پس بیان کردن آن به درصد اشتباه خواهد بود، بخصوص اگر نرخ خرابی ما متغیر باشد.

به همین دلیل تابع نرخ خرابی بصورت زیر تعریف می شود

فرض می کنیم متغیر تصادفی $X$ غیر منفی است که طول عمر قطعه ( یا سیستم ) را با تابع چگالی $f_X (t)$ و تابع توزیع تجمعی $F_X (t)$ نشان می دهد. آنگاه تابع نرخ خرابی $\lambda_X (t)$ ، احتمال پیشامد آن که قطعه یا سیستم تا زمان $t$ خراب نشده باشد و در بازه ی زمانی $(t , t+dt)$ خراب شود را نشان می‌دهد

$\lambda_X (t) \, dt= \text{P} \left\{ X \in (t , t+dt) | X>t \right\} = \frac{ \text{P}\{X \in (t,t+dt) \cap X>t\}}{\text{P}\{X>t\}} = \frac{\text{P}\{X \in (t,t+dt)\}}{\text{P}\{X>t\}} = \frac{f_X(t)dt}{1-F_X(t)}$

در نتیجه تابع نرخ خرابی تعریف می‌شود

$\lambda_X(t) \triangleq \frac{f_X(t)}{1-F_X(t)}$

بسیاری از توابع احتمال را می توان برای مدل کردن نرخ خرابی به کار برد. رایج ترین این توابع، تابع توزیع نمایی است :

$\lambda_X(t)= \frac{f_X(t)}{1-F_X(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda$

باید توجه داشت که با در اختیار داشتن تابع نرخ خرابی می توان تابع چگالی احتمال و توزیع تجمعی را محاسبه کرد

$F_X(x) = 1-e^{-\int_{0}^x \lambda_X(t)\,dt}$

$f_X(x)=\frac{dF_X(x)}{dx}$

مثال

فرض کنیم نرخ مرگ و میر افراد سیگاری در هر زمان دو برابر نرخ مرگ و میر افراد غیر سیگاری است. اگر یک شخص سیگاری و یک شخص غیر سیگاری a سال عمر کرده باشند، احتمال اینکه فرد غیر سیگاری b سال عمر کنند چند برابر آن است که فرد سیگاری b سال عمر کنند ؟

فرض کنیم $L_k^s$ پیشامد آن باشد که فرد سیگاری $k$ سال عمر کند و $L_k^{ns}$ پیشامد آن باشد که فرد غیر سیگاری $k$ سال عمر کند

$\text{P} (L_b^s | L_a^s)=\frac{\text{P}(L_b^s \cap L_a^s)}{\text{P}(L_a^s)}=\frac{\text{P}(L_b^s)}{\text{P}(L_a^s)}=\frac{1-F_{X,s}(b)}{1-F_{X,s}(a)}= e^{-\int_{a}^b \lambda_{X,s}(t)\,dt}$

که $F_{X,s}(x)$ تابع چگالی توزیع جمعی طول عمر فرد سیگار و $\lambda_{X,s}(t)$ تابع نرخ مرگ و میر فرد سیگاری است. بطور مشابه

$\text{P}(L_b^{ns} | L_a^{ns})=e^{-\int_{a}^b \lambda_{X,ns}(t)\,dt}$

که $\lambda_{X,ns}(t)$ تابع نرخ مرگ و میر فرد غیر سیگاری است. می دانیم که

$\lambda_{X,s}(t)=2 \lambda_{X,ns}(t)$

در نتیجه

$P(L_b^{ns} | L_a^{ns})=e^{-\int_{a}^b \lambda_{X,ns}(t)\,dt}=e^{-\int_{a}^b \frac{1}{2}\lambda_{X,s}(t)\,dt}=\left(e^{-\int_{a}^b \lambda_{X,s}(t)\,dt}\right)^{ \frac{1}{2}}=\left(\text{P}(L_b^s|L_a^s)\right)^{\frac{1}{2}}$

پس می توان نتیجه گرفت احتمال مردن برای فرد سیگاری توان دوم احتمال مردن برای فرد غیر سیگاری است .

منابع

• http://en.wikipedia.org/wiki/Failure_rate
• A. Papulis, Probability and Statistics, Prentice Hall, 1990