تابع مولد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو


در ریاضیات تابع مولد یک سری توانی است که ضرایب آن اطلاعاتی در مورد دنبالهٔ فرضی an (با اندیس‌های طبیعی) را در خود رمز می‌کنند.توابع مولد برای اولین بار توسط ابراهام دو مواور استفاده شدند.در واقع توابع مولد بسیار قدرتمند هستند و می توان از آنها برای رمزگذاری اطلاعات در مورد آرایه ای از اعداد فهرست شده توسط اعداد طبیعی استفاده کرد.

توابع مولد دارای انواع مختلفی مانند توابع مولد معمولی، توابع مولد نمایی، سری‌های لمبرت، سری‌های بل و سری دیریکله می باشند که در ادامه برای هر یک تعریف‌ و مثال‌هایی ارائه داده می شود. هر دنباله‌ در اصل یک تابع مولد از هر نوع دارد(به جز سری های لمبرت و دیریکله که از اندیس یکم شروع می شوند ، بقیه انواع از اندیس صفرم شروع می شوند) و بسته به نوع تابع می توان از تابع مولد مناسب استفاده کرد. توابع مولد اغلب به صورت یک فرم بسته (به جای یک سری) ارایه می شوند. گاهی اوقات یک تابع مولد با یک مقدار خاص x مقداردهی می‌شود. به هر حال، باید توجه داشت که توابع مولد سری‌هایی توانی هستند و لازم نیست که برای همهٔ مقادیر x رفتار مشابهی داشته باشند.

توابع مولد بطور کلی در فرم توابع معمولی که به صورت نگاشتی از دامنه به برد است ، نیستند و این نام نیز صرفا به صورت سنتی بر روی آنها بوده و بهتر است به جای توابع مولد از واژه سری های مولد استفاده کنیم.

تعاریف[ویرایش]

تابع مولد معمولی[ویرایش]

تابع مولد معمولی دنبالهٔ an عبارتست از

G(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n

وقتی از واژه ی تابع مولد استفاده می شود عموما منظور همان تابع مولد معمولی است. اگر an تابع احتمالی وزن دار از یک متغیر تصادفی گسسته باشد انگاه تابع مولد معمولی اش، تابع مولد احتمال نامیده می‌شود.

تابع مولد معمولی می‌تواند به دنباله‌هایی با اندیس‌های چند گانه تعمیم بیابند برای مثال تابع مولد دنباله یa_{m,n}(که mوn اعداد طبیعی اند) عبارتست از

G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n

تابع مولد نمایی[ویرایش]

تابع مولد نمایی دنبالهٔ an عبارتست از

EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}.

برای مسائل شمارشی ترکیبی راحت تر است که به جای استفاده از توابع مولد معمولی از توابع مولد نمایی استفاده کنیم.


تابع مولد پوآسن[ویرایش]

تابع مولد پوآسن دنبالهٔ an به صورت زیر است :

G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n

سریهای لمبرت[ویرایش]

سریهای لمبرت دنبالهٔ an عبارتست از

EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}

توجه کنید اندیس anدر سری‌های لمبرت بایک شروع می‌شود (نه باصفر)

سری‌های بل[ویرایش]

سری بل یک تابع (f(n و یک عدد اولP عبارتست از

f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n


توابع مولد سری های دیریکله[ویرایش]

سری دیریکله هرچند کاملا یک سری توانی نیست اما اغلب به عنوان تابع مولد طبقه بندی می شود.سری دریکله دنبالهٔ an عبارتست از

\operatorname{DG}(a_n;s)=\sum _{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}.

تابع مولد سری دیریکله زمانی که an یک تابع حاصل ضربی باشد بسیار مفید است. زمانی که an بسط حاصلضرب اولر باشد داریم :

\operatorname{DG}(a_n;s)=\prod_{p} \operatorname{BG}_p(a_n;p^{-s})\,.

اگر an یک کاراکتر دیریکله باشد آنگاه تابع مولد سری دیریکله آن یک سری L دیریکله می شود.





توابع مولد دنباله های چندجمله ای[ویرایش]

ایده توابع مولد قابل بسط دادن به سایر دنباله ها می باشد. به عنوان مثال دنباله چند جمله ای های شامل دوجمله(دنباله دوجمله ای) توسط تابع مولد زیر تولید شده است:

e^{xf(t)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n

که در آن (pn(x یک دنباله از چند جمله ای ها بوده و یک تابع خاص می باشد. دنباله نیز به همین ترتیب ساخته شده است. برای اطلاعات بیشتر از چند جمله ای های تعمیم یافته Appell استفاده کنید.



توابع مولد معمولی[ویرایش]

چند جمله ای هایک حالت خاص از توابع مولد معمولی می باشند که مربوط به دنباله های محدود یا دنباله های نامحدود می باشند. این نکته مهم است که دنباله های محدود می توانند به عنوان توابع مولد تفسیر شوند مانند Poincaré polynomial و غیره . دنباله ثابت 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... یکی از کلیدی ترین دنباله ها در بحث توابع مولد می باشد . تابع مولد معمولی این دنباله عبارت است از :

\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}.

عبارت سمت چپ بسط سری مکلورن عبارت سمت راست می باشد.عبارت سمت راست می تواند با ضرب سری توانی 1 − x از سمت چپ و بررسی اینکه نتیجه با سری توانی تابع ثابت 1 برابر باشد به دست آید.به عبارت دیگر تمامی ضرایب به غیر از ضریب x0 برابر صفر می شوند.علاوه بر این سری توانی دیگری با این خاصیت وجود ندارد. بنابراین سمت چپ می تواند توسط ضرب معکوس 1 − x در حلقه سری توانی تعیین شود. عبارت تابع مولد معمولی برای بقیه دنباله ها به راحتی می تواند از این مورد بدست بیاید. به عنوان مثال جایگزین کردن x → ax تابع مولد تصاعد هندسی 1, a, a2, a3, ... برای یک ثابت a بدست می آید :

\sum_{n=0}^{\infty}(ax)^n= \frac{1}{1-ax}.

این تساوی هم چنین به طور مستقیم از این واقعیت که سمت چپ بسط سری مکلورن سمت راست است نتیجه می شود. داریم :

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n= \frac{1}{1+x}.

همچنین می توان x را با توان های بالاتری از x تعویض کرد . برای مثال برای دنباله1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, .... می توان تابع مولد زیر را در نظر گرفت :

\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}=\frac{1}{1-x^2}.

با مربع کردن مقادیر در تابع اولیه یا با بدست آوردن مشتق نسبت بهx از دو طرف عبارت و تغییر دادن متغیرn → n-1 می توان ضرایب دنباله 1, 2, 3, 4, 5, ..., را ساخت :

\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n= \frac{1}{(1-x)^2},

و توان سوم آن به فرم اعداد مثلثی 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... می باشدکه در آن n ضرایب دو جمله ای\tbinom{n+2}2 است . پس داریم :

\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}2 x^n= \frac{1}{(1-x)^3}.

بطور کلی می توان این قضیه را برای هر k مثبتی تعمیم داد :

\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}k x^n= \frac{1}{(1-x)^{k+1}}.

توجه کنید که :

2\binom{n+2}2 - 3\binom{n+1}1 + \binom{n}0= 2\frac{(n+1)(n+2)}2 -3(n+1) + 1 = n^2,

می توان تابع مولد دنباله 0, 1, 4, 9, 16, ... از اعداد مربعی را با استفاده از ترکیب خطی از ضرایب دوجمله ای زیر بدست آورد :

G(n^2;x)=\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n=\frac{2}{(1-x)^3}-\frac{3}{(1-x)^2}+\frac{1}{1-x}=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}.


توابع گویا[ویرایش]

نوشتار اصلی: دنباله بازگشتی خطی


تابع مولد معمولی یک دنباله می تواند به عنوان یک تابع منطقی(نسبت دو چندجمله ای)بیان شود اگرو فقط اگر دنباله یک رابطه بازگشتی باضرایب ثابت باشد.این نکته مثال های بالا را فراگیرتر می کند.حال عکس این موضوع را بررسی می کنیم ، هر دنباله که با کسری از چندجمله ای ها ساخته شده باشدبیانگر یک تابع خطی با ضرایب ثابت می باشد. این ضرایب با ضرایب مخرج کسر چند جمله ای یکسان می باشند.(بنابراین آنها می توانند مستقیما بدست آیند.)

ضرب منجر به کانولوشن[ویرایش]

نوشتار اصلی: ضرب کوشی

ضرب چند تابع مولد باعث ایجاد یک پیچیدگی گسسته در (ضرب کوشی) دنباله ها می گردد.به عنوان مثال دنباله مجموع تجمعی :

(a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \cdots)

از یک دنباله با تابع مولد معمولی (G(anxدارای تابع مولد زیر می باشد‌:

G(a_n; x) = \frac{1}{1-x}

زیرا 1/(1-x) تابع مولد معمولی دنباله (1, 1, ...) می باشد.

ارتباط با با گسستگی زمانی تبدیل فوریه[ویرایش]

نوشتار اصلی: Discrete-time Fourier transform

سری مطلقا همگرا ی زیر را در نظر بگیرید :

G \left ( a_n; e^{-i \omega} \right) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{-i \omega n}

این سری گسستگی زمانی تبدیل فوریه a0a1, .... را به ما می دهد.

رشد مجانبی از دنباله[ویرایش]

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، اغلب از نرخ رشد ضریب یک سری توانی برای محاسبه شعاع همگرایی استفاده می شود. عکس این مطلب نیز صادق است ; اغلب شعاع همگرایی برای یک تابع مولد را می توان برای استنباط آنالیز مجانبی یک دنباله اساسی مورد استفاده قرار داد. به عنوان مثال ، تابع مولد معمولی G(anx) که دارای شعاع محدودی از همگرایی (r) می باشد به صورت زیر نوشته می شود :

G(a_n; x) = \frac{A(x) + B(x) \left (1- \frac{x}{r} \right )^{-\beta}}{x^{\alpha}}

که در آن( A(xو ( B(x توابع تحلیلی با شعاع همگرایی بزگتر(یا مساوی) r بوده و B (r) ≠ 0 . با استفاده از تابع گاما و یا ضرایب دو جمله ای داریم :

a_n \sim \frac{B(r)}{r^{\alpha} \Gamma(\beta)} \, n^{\beta-1}(1/r)^{n} \sim \frac{B(r)}{r^{\alpha}} \binom{n+\beta-1}{n}(1/r)^{n},

رشد مجانبی از دنباله مربعات[ویرایش]

با توجه به مطالب بیان شده فوق ، تابع مولد معمولی دنباله مربعات به صورت زیر است:

\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}.

که در آن r = 1, α = 0, β = 3, A(x) = 0, و B(x) = x(x+1), همچنین ما می توانیم بررسی کنیم که آیا دنباله مربعات همان طور که انتظار داشتیم رشد می کند،بدین منظور داریم :

a_n \sim \frac{B(r)}{r^{\alpha} \Gamma(\beta)} \, n^{\beta-1} \left (\frac{1}{r} \right )^{n} = \frac{1(1+1)}{1^0\,\Gamma(3)}\,n^{3-1} (1/1)^n = n^2.

رشد مجانبی اعداد کاتالان[ویرایش]

نوشتار اصلی: اعداد کاتالان


تابع مولد معمولی برای اعدا کاتالان به صورت زیر است :

\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.

که در آن r = 1/4, α = 1, β = −1/2, A(x) = 1/2, and B(x) = −1/2, همچنین می توان برای اعداد کاتالان نتیجه گیری زیر را انجام داد :

a_n \sim \frac{B(r)}{r^{\alpha} \Gamma(\beta)} \, n^{\beta-1} \left(\frac{1}{r} \right )^{n} = \frac{-\frac{1}{2}}{(\frac{1}{4})^1 \Gamma(-\frac{1}{2})} \, n^{-\frac{1}{2}-1} \left(\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)^n = \frac{n^{-\frac{3}{2}} \, 4^n}{\sqrt{\pi}}.

توابع مولد دو متغیره و چند متغیره[ویرایش]

در واقع می توان تابع مولد با چند متغیر را مانند آرایه ای شامل تعدادی اندیس تعریف کرد، که به آن توابع مولد چند متغیره یا توابع مولد فوق العاده و برای دو متغیر توابع مولد دومتغیرهگویند.

به عنوان مثال (1+x)^n تابع مولد معمولی برای ضرایب دو جمله ای با یک n ثابت است. حال فرض کنید بخواهیم تابع مولد دومتغیره ای که ضرایب دو جمله ای \binom{n}{k} را برای تمامk و n ها تولید می کند را بدست آوریم، برای این منظور (1+x)^n را به عنوان یک سری در n در نظر گرفته و تمامی توابع مولد در y را پیدا می کنیم که این عبارت را به عنوان ضریب دارند.تابع مولد a^n به صورت زیر است :

\frac{1}{1-ay},

تابع مولد ضرایب دوجمله ای عبارت است از :

\sum_{n,k} \binom{n}{k} x^k y^n = \frac{1}{1-(1+x)y}=\frac{1}{1-y-xy}.

مثال[ویرایش]

تابع مولد برای دنباله اعداد مربع کامل an = n2 :

تابع مولد معمولی[ویرایش]

G(n^2;x)=\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}.

تابع مولد نمایی[ویرایش]

EG(n^2;x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{n^2x^n}{n!}=x(x+1)e^x

سری Bell[ویرایش]

f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty p^{2n}x^n=\frac{1}{1-p^2x}

سری دیریکله[ویرایش]

\operatorname{DG}(n^2;s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^s}=\zeta(s-2),


با استفاده از تابع زتای ریمان.

دنباله ی an که توسط تابع مولد سری دیریکله تولید شده متناظر است با :

\operatorname{DG}(a_n;s)=\zeta(s)^m

که در آن \zeta(s) تابع زتای ریمان بوده که دارای تابع مولد معمولی می باشد:

\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n = x + {m \choose 1} \sum_{a=2}^{\infty} x^{a} + {m \choose 2}\sum_{a=2}^{\infty} \sum_{b=2}^{\infty} x^{ab} + {m \choose 3} \sum_{a=2}^{\infty} \sum_{b=2}^{\infty} \sum_{c=2}^{\infty} x^{abc} + {m \choose 4}\sum_{a=2}^{\infty} \sum_{b=2}^{\infty} \sum_{c=2}^{\infty} \sum_{d=2}^{\infty} x^{abcd} + \cdots


تابع چند متغیره[ویرایش]

توابع مولد چند متغیره در عمل در هنگام محاسبه جدول احتمال متشکل از اعداد طبیعی نامنفی با شماره سطر و ستون مشخص به کار برده می شوند. فرض کنید جدول مورد نظر دارای r سطر و c ستون باشد; مجموع سطرهابرابر t_1,\ldots t_r و مجموع ستون ها برابر s_1,\ldots s_c می باشد. بر اساس I. J. Good عدد این جدول برابر است باضرایب :x_1^{t_1}\ldots x_r^{t_r}y_1^{s_1}\ldots y_c^{s_c} در :

\prod_{i=1}^{r}\prod_{j=1}^c\frac{1}{1-x_iy_j}.

کاربردهای توابع مولد[ویرایش]

توابع مولد در موارد زیر استفاده می شوند :

  • پیدا کردن یک فرمول بسته برای توابع بازگشتی .به عنوان مثال دنباله فیبوناچی
  • پیدا کردن رابطه بازگشتی برای یک دنباله که معمولا به فرم بازگشتی است.
  • پیدا کردن ارتباط میان دنباله ها ، اگر تابع مولد دو دنباله با هم برابر باشند ، خود دنباله ها نیز با هم در ارتباط می باشند.
  • کشف کردن رفتار مجانبی یک دنباله .
  • بدست آوردن مجموع دنباله های نا متناهی

توابع مولد دیگر[ویرایش]

نمونه هایی از دنباله های چندجمله ای که توسط توابع مولد تولید شده اند :

منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

1031 Generating Functions


منابع[ویرایش]

ویکی‌پدیای انگلیسی