تابع مولد

در ریاضیات تابع مولد یک سری توانی است که ضرایب آن اطلاعاتی در مورد دنبالهٔ فرضی a_n (با اندیس‌های طبیعی) را در خود رمز می‌کنند. چند نوع تابع مولد وجود دارد. توابع مولد معمولی، توابع مولد نمایی، سری‌های لامبرت، سری‌های بل و سری دیریکله. تعریف‌ها و مثال‌هایی در زیر داده شده است. هر دنباله‌ای یک تابع مولد از هر نوع دارد.

توابع مولد اغلب به صورت یک فرم بسته مثل تابعی از یک متغیر مستقل x بیان می‌شوند. گاهی اوقات یک تابع مولد با یک مقدار خاص x مقداردهی می‌شود. به هر حال، باید توجه داشت که توابع مولد سری‌هایی توانی هستند و لازم نیست که برای همهٔ مقادیر x رفتار مشابهی داشته باشند.

تعاریف

تابع مولد معمولی

تابع مولد معمولی یک دنبالهٔ a_n عبارتست از

$G(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$

اگر a_n تابع احتمالی وزن دار از یک متغیر تصادفی گسسته باشد انگاه تابع مولد معمولی اش، تابع مولد احتمال نامیده می‌شود.

تابع مولد معمولی می‌تواند به دنباله‌هایی با اندیس‌های چند گانه تعمیم بیابند برای مثال تابع مولد دنباله ی$a_{m,n}$(که mوn اعداد طبیعی اند) عبارتست از

$G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n$

تابع مولد نمایی

تابع مولد نمایی دنبالهٔ a_n عبارتست از

$EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}.$

تابع مولد poisson

تابع مولد poisson دنبالهٔ a_n

$G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n$

سریهای Lambert

سریهای Lambert دنبالهٔ a_n عبارتست از

$EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}$

توجه کنید اندیس a_nدر سری‌های Lambert بایک شروع می‌شود (نه باصفر)

سری‌های Bell

سریBell یک تابع (f(n و یک عدد اولP عبارتست از

$f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n$

مثال

تابع مولد برای دنباله اعداد مربع کامل

تابع مولد معمولی

$G(n^2;x)=\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}.$

تابع مولد نمایی

$EG(n^2;x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{n^2x^n}{n!}=x(x+1)e^x$

سری Bell

$f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty p^{2n}x^n=\frac{1}{1-p^2x}$

منابع

ویکی‌پدیا ی انگلیسس