سطوح ریمانی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

سطوح ریمانی به طور عام، مجموعه اشیایی در ریاضی است که در آنها امکان تعریف و توسعه توابع مختلط (تحلیلی یا دارای تَکینی) و هارمونیک امکانپذیر است. به بیانی ساده تر، همانند فضاهای برداری که محلی برای تعریف و توسعه توابع و نگاشت های خطی هستند، سطوح ریمانی نیز محلی برای تعریف و توسعه آنالیز و توابع مختلط می باشند.

برشی از یک سطح ریمانی که از به هم چسباندن دو صفحه مختلط به دست آمده است. این سطح برای تعریف وقتی که یک متغیر مختلط است به کار میرود.

تعریف و تعاریف معادل[ویرایش]

برای تعریف یک سطح ریمانی، یا سطوح ریمانی، راه های متفاوت و طبیعتاً معادلی وجود دارند. یکی از ساده ترین و در عین حال شهودی ترین شیوه تعریف یک سطح ریمانی به اینگونه است: یک سطح ریمانی یک منیفولد (چند تایی/خمینه) مختلط (Complex Manifold) از بعد یک است.

به بیان دقیق تر، یک سطح ریمانی، یک فضای توپولوژیک هاسدورف، جدایی پذیر و همبند است که موضعا (locally) شبیه زیرمجموعه های باز، همبند و سَره (محض) در صفحه مختلط می باشد. بخش آخر تعریف به معنای این است که برای هر نقطه از فضا یک همسایگی وجود دارد که با یک زیرمجموعه های باز، همبند و سَره (محض) در صفحه مختلط همسان توپولوژیک یا همان هومیومرفیسم (Homeomorphis) است.

شیوه دیگر تعریف یک سطح ریمانی این است: یک سطح ریمانی یک منیفولد دیفرانسیل پذیر حقیقی از بعد دو به همراه یک اطلس (خانواده ماکسیمال از کارت ها) است به گونه ای که هر عضو اطلس یک هومیومرفیسم بین یک زیرمجموعه باز از منیفولد و یک گوی باز در صفحه مختلط بوده و نگاشت های انتقالی بین دو عضو اطلس با اشتراک ناتهی یک تابع تحلیلی مختلط باشند.

با نماد های ریاضی، اگر نمایش یک سطح ریمانی باشد، نشان دهنده فضای توپولوژیک زمینه و نشان دهنده اطلس با ویژگی ذکر شده است: هر یک همیومرفیسم است و اگر آنگاه یک تابع هولومرفیک (بین دو زیر مجموعه از صفحه مختلط) است. برای راحتی، به مجموعه کارتها یا همان اطلس یک ساختار مختلط بر می گویند.

کاملاً طبیعی است که بر یک فضای توپولوژیک ثابت زمینه، بتوان چندین ساختار مختلط متفاوت تعریف کرد. بررسی رابطه بین این ساختارها و چگونگی تبدیل آنها به یکدیگر، به تنهایی شاخه ی عمیق دیگری از ریاضیات نوین (قرن بیستم) می باشد که به طور عام نظریه تایکمولِر (Teichmüller Theory) نامیده می شود.

اگرچه این سطوح موضعا، ساده به نظر می رسند ولی در نگاه کلی می توانند به لحاظ جبری(گروه اصلی، گروه های کوهومولوژی)، توپولوژیکی(تعداد دسته ها(genus) یا همان گونه، دگردیسی ها)، هندسی(خمیدگی یا همان انحنا، مساحت کل، فرم ها) و تحلیلی (تعریف توابع تحلیلی و یا دارای تکینی بر یا بین آنها، تعمیم مشتق و انتگرال) بسیار بسیار پیچیده باشند و در واقع اینگونه هستند.

سطوح ریمانی به مجموعه اشیا هندسی (Geometric Objects) با خواص ذکر شده، گفته می شود. همانطور که گفته شد این سطوح حالت خاصی از منیفولد های مختلط می باشند بنابراین طبیعی است که این سطوح نه فقط دارای کاربرد های وسیعی در ریاضی که در فیزیک (به عنوان مثال نظریه ریسمان) نیز بسیار پرکاربرد می باشند.

تاریخچه[ویرایش]

این سطوح برای اولین بار، به طور مدون، در رساله دکترای ریاضی دان بزرگ آلمانی برنهارت ریمان، در سال 1851 کشف/ابداع و سپس توسط خود ریمان و بسیاری دیگر از ریاضی دانان قرن بیستم گسترش و تعمیم پیدا کرد. اگرچه ایده اولیه آن به سالهای قبل تری برمی گردد (به ویژه کارهای عمیق ریاضی دانانی چون کوشی، آبِل، گائوس، یاکوبی) ولی ریمان اولین فردی بود که آنها را به طور حرفه ای تعریف و به کار برد. ریمان متوجه این مطلب شده بود که توابعی مانند یا ، زمانی که یک متغیر مختلط است، بر صفحه مختلط خوش تعریف نمی‌باشند و برای تعریف آنها به صورت تابعی خوش تعریف نیاز به گسترش صفحه مختلط، به حالت عام تری است.

طرح گونه ای از سطح ریمانی که برای تعریف تابع لگاریتم با متغیر مختلط به کار می رود. هر طبقه در واقع یک صفحه مختلط کامل است و این شکل تنها بخش کوچکی از این سطح را نمایش می دهد.

مثال هایی مقدماتی از سطوح ریمانی[ویرایش]

صفحه مختلط، هر زیر مجموعه باز (نه الزاماً همبند) از صفحه مختلط مانند دیسک (گوی باز) یا دیسک محذوف (گوی باز بدون مرکز)، کره ریمان، تویوپ (چمبره یا تورس) با ساختار مختلط (البته کمی نیاز به توضیح دارد).

دیگر مثال ها را می توان با چسباندن چند (متناهی یا نا متناهی) صفحه مختلط به یکدیگر به دست آورد. مانند صفحه ای که برای تعریف توابع یا به کار می روند. به تصویر ها مراجعه شود.

طرح گونه ای از یک سطح ریمانی فشرده با دو حفره.

دسته بندی[ویرایش]

دسته بندی های گوناگونی از این سطوح وجود دارد. به برخی از آنها در ادامه اشاره می کنیم.

  • یکی از آن ها که بیشتر توپولوژیک می باشد این است که در حالت کلی می توان آنها را به دو دسته فشرده (Compact) و غیر فشرده تقسیم کرد.
  • دیگر دسته بندی این سطوح که بیش تر بر مبنای پوشش جامع (Universal Cover) می باشد، به این شرح است: سطوح اِلیپتیک، سطوح هایپربولیک، سطوح پارابولیک.

برای مطالعه سطوح ریمانی حداقل دو شیوه یا روش را می توان در پیش گرفت، یکی از راه مطالعه هندسه جبری و مطالعه هندسی توابع جبری می باشد که بیشتر متمرکز بر مطالعه سطوح فشرده است و شیوه دیگر، بررسی و مطالعه آنها از مسیر مطالعه آنالیز مختلط یا همان نظریه توابع مختلط می باشد. در شیوه دوم، که بیشتر تحلیلی نامیده می شود، سطوح نافشرده نیز به طور گسترده بررسی می شوند.

توابع بر سطوح ریمانی[ویرایش]

به طور کلی توابع خوش رفتار با برد مختلط بر این سطوح را می توان به دو دسته تقسیم کرد: توابع تحلیلی یا همان هولومرفیک (Holomorphic) و توابع دارای تکینی یا همان مرومورفیک (Meromorphic).

لازم به ذکر است که مانند صفحه مختلط، بر این سطوح توابع هارمونیک (Harmonic) با برد حقیقی نیز تعریف شده و دارای کاربردهای وسیعی می باشد.

سطوح ریمانی و هندسه ریمانی[ویرایش]

در ترجمه به زبان فارسی، توجه شود که سطوح ریمانی ترجمه Riemann Surfaces است و با Riemannian Geometry که هندسه ریمانی می باشد تفاوت زیاد و بنیادینی دارد. به طور خاص، به معنای ریاضی چیزی به نام Riemannian Surfaces تا به الان وجود نداشته و بی معنی است.

لازم به ذکر است که همواره می توان بر یک سطح ریمانی (اگر آنرا فقط یک منیفلد ببینیم) یک هندسه ریمانی قرار داد، به بیان دقیقتر یک متریک ریمانی کامل با انحنا ثابت، ولی در آنالیز مختلط توجه و تمرکز، بیشتر بر بررسی ساختار مختلط این سطوح است.

همچنین تفاوت یک سطح ریمانی با فضای توپولوژیک زمینه اش را نمی توان به طور شهودی تشخیص داد! به طور مثال نمی توان با نگاه کردن به دو کره گفت که کدام یک، یک سطح ریمانی و کدام یک صرفاً یک کره (به عنوان یک فضای توپولوژیک) است. یک سطح ریمانی به طور مشترک با ساختار توپولوژیک آن و ساختار مختلط آن (اطلس ها یا همان کارت ها به صفحه مختلط) شناخته می شود. به همین علت در تصاویر و شکل ها فقط می توان طرح گونه ای از آن را برای تصور بهتر به تصویر کشید.

قضایا و روابط مهم[ویرایش]

سطوح ریمانی مانند هر بخش دیگری از ریاضی دارای قضایای مهم خاص خود می باشد. در اینجا، به منظور روشن تر شدن محتوا، به برخی از مهم ترین و در عین حال مقدماتی ترین آنها اشاره ای می شود.

  • تنها تابع هولومرفیک (تحلیلی) بر یک سطح ریمانی فشرده، تابع ثابت است.
  • هر تابع مرومورفیک بر کره ریمانی یک تابع گویا است، به بیان دیگر می توان آنرا به صورت تقسیم دو چند جمله ای (با ضرایب مختلط) نوشت.
  • فرض کنید که یک تابع هولومرفیک بین دو سطح ریمانی باشد، در هر نقطه همواره می توان یک کارت از حول و یک کارت از حول چنان پیدا کرد که به ازای هر . به بیان ساده تر توابع هولومرفیک، موضعا مانند چندجمله ای ها رفتار می کنند.
  • فرض کنید که یک سطح ریمانی فشرده باشد، بر این سطح همواره یک تابع مرمورفیک وجود دارد. این قضیه علی‌رغم ظاهری ساده دارای اثباتی نسبتاً دشوار و عمیق است، هم چنین به کمک آن نتایج بسیاری را در نظریه سطوح ریمانی می توان به دست آورد. به عنوان مثال به کمک آن می توان اثبات کرد که هر سطح ریمانی فشرده ای را می توان مثلث بندی کرد.
  • فرض کنیم که دو تابع هولومرفیک بر یک زیر مجموعه باز و سره از یک سطح ریمانی تعریف شده و بر یک زیر مجوعه دارای نقطه انباشتگی از آن با هم برابر باشند، در این صورت این دو تابع بر کل با هم برابراند.
  • قضیه ریمان-راک: این قضیه (به بیان ساده) در مورد بُعد فُرم های مرمورفیک بر یک سطح ریمانی فشرده است.
  • قضیه ریمان-هِرویتز: این قضیه رابطه ای عددی بین تعداد دسته ها(genus)ی سطوح های ریمانی و و درجه یک تابع هولومرفیک بین آن دو را بیان می کند.
  • سطوح ریمانی فشرده با دو حفره (genus) یا بیش دارای انحنای منفی، با یک حفره (چمبره) دارای انحنا صفر و بدون حفره (کره ریمانی) دارای انحنای مثبت اند. این ویژگی صرفاً یک ویژگی توپولوژیکی (مستقل از هندسه و ساختار مختلط) این سطوح است.
  • امکان تعریف یک ساختار مختلط بر بطری کلاین و نوار موبیوس وجود ندارد. دلیل این امر جهت ناپذیری (non-orientable) این سطوح است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Lectures on Riemann Surfaces, Otto Forster, Springer-Verlag, 1999.
  • Riemann Surfaces, Lars Valerian Ahlfors & Leo Sario, Harvard university press, 1960.

پیوند به بیرون[ویرایش]