قضیه آخر فرما

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
قضیه آخر فرما
Diophantus-II-8-Fermat.jpg
ویرایش ۱۶۷۰ از کتاب حساب دیوفانتوس که در آن یادداشت فرما قرار دارد، یادداشتی که به "آخرین قضیه" معروف شده است. (بعد از مرگ فرما، فرزندش آن را منتشر کرد)
گرایش:نظریه اعداد
حدس زننده:پیر دو فرما
تاریخ حدس:۱۶۳۷
اولین اثبات توسط:اندرو وایلز
اولین اثبات در تاریخ:۱۹۹۵
ایجاب می گردد توسط:

در نظریه اعداد، قضیه آخر فرما (که برخی مواقع از آن به حدس فرما هم یاد شده است، بخصوص در متون قدیمی تر) بیان می دارد که هیچ سه عدد صحیح مثبتی چون ، و وجود ندارند چنان که در معادله برای هر عدد صحیح صدق کنند. این که حالات بی نهایت جواب دارند، از زمان باستان شناخته شده بود.[۱]

این گزاره ابتدا توسط پیر دو فرما در ۱۶۳۷ در حاشیه کتاب حساب دیوفانتوس حدس زده شد؛ فرما اضافه کرد که اثباتی برای آن دارد اما به دلیل بزرگ بودن بیش از حد در این حاشیه نمی گنجد. با این حال اوایل در مورد آن مشکوک بودند، چون انتشارش توسط پسرش و بدون موافقت پدر و بعد از مرگ او صورت گرفته بود.[۲] بعد از ۳۵۸ سال تلاش ریاضیدانان، اولین اثبات موفق در ۱۹۹۴ توسط اندرو وایلز منتشر شد و به طور رسمی در ۱۹۹۵ منتشر شد؛ این اثبات در اهدای جایزه آبل به وایلز در ۲۰۱۶ به عنوان "پیشرفت محیر العقول" توصیف شد.[۳] همچنین در آن بخش اعظم قضیه مدولاریتی اثبات شده و رهیافت های سراسر نوینی را به سوی چندین مسئله دیگر و تکنیک های بالابری (لیفتینگ) مدولاریتی باز کرد.

این مسئله حل نشده انگیزه بخش توسعه نظریه جبری اعداد در قرن نوزدهم میلادی و اثبات قضیه مدولاریتی در قرن بیستم بود. این مسئله در میان معروف ترین قضایای تاریخ ریاضیات است و تا قبل از اثبات شدنش در رکورد های جهانی کتاب گینس به عنوان "سخت ترین مسئله ریاضی" شناخته می شد، بخشی ازین توصیف به دلیل اثبات های متعدد ناموفقی بوده که سعی در حل آن داشتند.[۴]

مرور کلی[ویرایش]

منشأ فیثاغورثی[ویرایش]

معادله فیثاغورثی بی نهایت جواب صحیح مثبت برای و دارد. این جواب ها را سه تایی های فیثاغورثی گویند (کوچکترین آن‌ها ۳، ۴، ۵ است). در حدود ۱۶۳۷، فرما در حاشیه کتابش نوشت که معادله برای های بزرگتر از ۲ هیچ جواب صحیح مثبتی ندارد. گرچه که او ادعا کرد که اثبات عمومی برای حدسش دارد، ولی جزئیاتی از آن بعد از مرگش باقی نگذاشت. این ادعا به عنوان قضیه آخر فرما شناخته می شود و برای سه و نیم قرن حل نشده باقی ماند.[۲] این ادعا در نهایت تبدیل به یکی از معروف ترین مسائل حل نشده ریاضیات شد. تلاش ها برای اثبات آن موجب پیشرفت های اساسی در نظریه جبری اعداد گشت و در طی زمان، قضیه آخر فرما به عنوان مسئله حل نشده ریاضیات معروف شد.

پیشرفت های پی در پی تا حل کامل[ویرایش]

بررسی و اثبات حالت خاص توسط خود فرما، کافی بود تا مشخص شود که اگر حدس او برای یک توان مثل غلط باشد آنگاه برای یک کوچکتر هم غلط خواهد بود، لذا تنها مقادیر اول نیاز به بررسی بیشتر داشتند. [یادداشت ۱] در طی دو قرن بعد (۱۶۳۷-۱۸۳۹)، این حدس تنها برای اعداد اول ۳، ۵ و ۷ اثبات شد، اگرچه که سوفی جرمن رهیافتی را ابداع و اثبات کرد که به کلاس عمده ای از اعداد اول مرتبط می شد، ارنست کومر رهیافت سوفی جرمن را توسعه داد تا شامل کل اعداد اول منظم شد، او اعداد اول غیر منظم را از تحلیل خود خارج کرد. دیگر ریاضیدانان براساس کار های کومر و با استفاده از مطالعات محاسباتی پیشرفته با کمک رایانه‌ها، توانستند اثبات مورد نظر را به توان‌های تمام اعداد اول کوچکتر از ۴ میلیون بسط دهند، اما اثباتی برای تمام توان ها دست نیافتنی می نمود (یعنی ریاضیدانان عموماً اثبات حالت کلی را غیر ممکن، بسیار سخت، یا بر اساس دانش موجود دست نیافتنی می شمردند).

حدود ۱۹۵۵، ریاضیدانان ژاپنی گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما احتمال دادند که ارتباطی بین خم های بیضوی و فرم های مدولار، دو قلمرو کاملاً متفاوت ریاضیات، وجود داشته باشد. در آن زمان حدس این دو، به نام حدس تانیاما-شیمورا شناخته می شد (در نهایت به نام قضیه مدولاریتی شناخته شد)، این حدس خود هویتی مستقل داشت و ظاهراً هیچ ارتباطی هم با قضیه آخر فرما پیدا نمی کرد. حدس تانیاما-شیمورا به خودی خود طور گسترده مهم تلقی می شد اما (همچون قضیه آخر فرما) اثبات آن عمدتاً کاملاً دست نیافتنی می نمود.

در ۱۹۸۴، گرهارد فری متوجه یک ارتباط ظاهری بین این دو مسئله شد، مسائلی که پیش از آن غیر مرتبط و حل نشده بودند. فری به طور اجمالی نشان داد که می توان این ارتباط را اثبات نمود. اثبات کامل ارتباط نزدیک این دو مسئله در ۱۹۸۶ توسط کن ریبت، بر اساس اثباتی جزئی از ژان پیر سره انجام شده بود. او (ژان پیر سره) تمام قسمت ها به جز قسمتی که به نام "حدس اپسیلون" شناخته می شد را اثبات کرده بود (مقالات مربوط به قضیه ریبت و خم فری را ببینید).[۳] مقالات فری، سره و ریبت نشان دادند که اگر بتوان قضیه مدولاریتی را حداقل برای دسته نیمه-پایا از خم‌های بیضوی اثبات کرد، آنگاه به طور خودکار اثباتی برای قضیه آخر فرما نیز حاصل خواهد شد. این ارتباط بدین صورت توصیف گشت: هر راه حلی که با قضیه آخر فرما تناقض داشته باشد، می تواند با قضیه مدولاریتی هم دچار تناقض شود. بنابراین اگر قضیه مدولاریتی درست باشد، آنگاه طبق تعریف هیچ راه حلی که با قضیه آخر فرما در تناقض باشد وجود نخواهد داشت، لذا قضیه آخر فرما هم درست خواهد بود.

گرچه که هردو مسئله هولناک بودند و در آن زمان به طور گسترده اثباتشان به عنوان "کاملاً دست نیافتنی" تلقی می شد،[۳] این ارتباط اولین مسیری بود که توسط آن، قضیه آخر فرما می توانست توسعه یافته و برای تمام اعداد، نه فقط بخش خاصی از اعداد، اثبات شود. همچنین چیزی که در انتخاب یک موضوع تحقیقاتی برای محققان مهم بود، این حقیقت بود که برعکس قضیه آخر فرما، قضیه مدولاریتی یک حوزه فعال تحقیقاتی بود که همگان طالب اثباتی از آن بودند، نه فقط به خاطر جنبه تاریخی اش، لذا این نکته وقت گذاشتن روی قضیه مدولاریتی را برای محققان از نظر حرفه ای توجیه می نمود.[۵] با این حال، عقیده عموم این بود که چنین ارتباطی نشان دهنده ی غیر عملی بودن اثبات حدس تانیاما-شیمورا نیز می باشد.[۶] یکی از صحبت هایی که اغلب شنیده می شد، چیزی بود شبیه صحبت ریاضیدانی به نام جان کوتس:[۶]

"من خودم خیلی بد بین بودم که ارتباط زیبایی بین قضیه آخر فرما و حدس تانیاما-شیمورا عملاً منجر به چیزی شود، چون باید اعتراف کنم که فکر نمی کردم حدس تانیاما شیمورا برای اثبات دست یافتنی باشد. گرچه که این مسئله زیبا بود، اما به نظر می رسید که اثبات آن در عمل غیر ممکن باشد. باید اقرار کنم که احتمالاً فکر می کردم در طول زندگانی ام اثبات نمی شود."

زمانی که شنیده شد ریبت، درستی ارتباط فری را اثبات کرده، ریاضیدان انگلیسی اندرو وایلز که از زمان بچگی افسون قضیه آخر فرما بود و پشتوانه ای از کار با خم های بیضوی و زمینه های مرتبط داشت، تصمیم گرفت تا سعی بر اثبات حدس تانیاما-شیمورا به عنوان راهی برای اثبات قضیه آخر فرما کند. در ۱۹۹۳، بعد از شش سال کار مخفی بر روی مسئله، وایلز در اثبات آن به اندازه کافی موفق شد. مقاله وایلز از نظر اندازه و حیطه موضوعی وسیع بود. یک نقص در بخشی از مقاله اصلی او طی اولین داوری همتای مقاله اش، موجب شد اندرو وایلز یک سال دیگر با شاگرد قدیمی اش ریچارد تیلور برای حل آن تلاش کند. در نتیجه، اثبات نهایی در ۱۹۹۵ همراه با مقاله ای ضمیمه ای منتشر شد، مقاله ضمیمه ای نشان می داد که گام های اصلاحی معتبر هستند. دستاورد وایلز به طور گسترده در رسانه های عمومی گزارش شد و در کتاب ها و برنامه های تلویزیونی معروف شد. بخش های باقیمانده ی حدس تانیاما-شیمورا اکنون اثبات شده و به قضیه مدولاریتی معروف است که پس از مقاله وایلز توسط دیگر ریاضیدانان براساس کار وایلز بین سال های ۱۹۹۶ تا ۲۰۰۱ اثبات شد. از وایلز به خاطر اثباتش قدردانی شد و جوایز متعددی از جمله جایزه ۲۰۱۶ آبل را نصیبش کرد.[۷][۸][۹]

صورت‌های معادل قضیه[ویرایش]

راه‌های مختلفی برای بیان قضیه آخر فرما وجود دارند که از نظر ریاضیاتی با مسئله اصلی معادلند.

به منظور بیانشان، ما از نمادهای ریاضیاتی استفاده می کنیم: فرض کنید مجموعه اعداد طبیعی باشد و مجموعه اعداد صحیح و مجموعه اعداد گویای باشد که و عضو بوده به گونه ای که . در ادامه ما به حلی از که در آن یکی از یا صفر باشند حل بدیهی می گوییم. یک حل که در آن تمام سه متغیر نا-صفر باشند را حل نابدیهی نامیم.

جهت مقایسه، ابتدا از فرمول اصلی شروع می کنیم.

  • حکم اصلی: فرض کنید و ، معادله هیچ جوابی ندارد.
  • حکم معادل 1: ، که در آن عدد صحیح است، هیچ جواب غیر بدیهی ندارد.

معادل بودن این حکم هنگامی که زوج باشد واضح است. اگر فرد بود و تمام سه عدد منفی بودند، آنگاه می توانیم را با برای بدست آوردن جوابی در جایگزین کنیم. اگر دوتا از آن ها منفی باشند، این دوتا باید یا باشند، در این صورت اگر مثلاً منفی بودند و مثبت بود، آنگاه آن‌ها را به صورت می نویسیم که منجر به جوابی در می شود؛ در حالت دیگر به روش مشابه عمل می کنیم. حال اگر تنها یکی از آن ها منفی بود، باید عدد منفی یکی از یا باشد. اگر منفی بود، و و مثبت بودند، آنگاه می توان معادله را به صورت نوشت، که مجدداً منجر به حل آن در می شود؛ اگر منفی بود، طبق تقارن باز به همان نتیجه اخیر می رسیم.

  • حکم معادل 2: ، که در آن عدد صحیح است، هیچ جواب نا-بدیهی ندارد.

به این علت که توان های و برابر (با ) است، چنان که اگر جوابی در داشته باشد، آنگاه آن جواب را می توان در مخرج مشترک مناسبی ضرب کرد تا جوابی در بدست آید که در نتیجه جوابی در خواهد بود.

  • حکم معادل 3: ، که در آن عدد صحیح است، هیچ جواب نا-بدیهی ندارد.

جواب نابدیهی برای منجر به جواب نابدیهی برای خواهد شد. برعکس، جواب برای منجر به جواب نابدیهی برای خواهد شد.

فرمولبندی اخیر به طور خاص ثمر بخش و مفید است، چرا که مسئله اصلی رویه سه بعدی را به مسئله خم دو بعدی تقلیل می دهد. علاوه بر این، امکان آن را می دهد تا به جای حلقه روی میدان کار شود؛ میدان ها ساختار خاص تری نسبت به حلقه ها هستند و امکان تحلیل عمیق تر و بهتری را فراهم می آورند.

  • حکم معادل ۴ - ارتباط با خم‌های بیضوی: اگر جواب نا-بدیهی برای بوده و عدد اول فردی باشد آنگاه (خم فری (Frey)) یک خم بیضوی خواهد بود.[۱۰]

بررسی این خم بیضوی بر اساس قضیه ریبت (Ribet) نشان می دهد که این خم فرم پیمانه ای (مدولار) ندارد. با این حال، اثبات اندرو وایلز نشان می دهد که هر معادله به فرم فرم پیمانه ای دارد. لذا هر جواب نابدیهی به معادله (که در آن یک عدد اول فرد است) منجر به تناقض می گردد، که به نوبه خود اثبات می کند که هیچ جواب نابدیهی وجود ندارد.[۱۱]

به بیان دیگر، هر جوابی که بتواند قضیه آخر فرما را دچار تناقض کند می تواند برای ایجاد تناقض در قضیه پیمانه ای (مدولاریتی) هم استفاده گردد. بنابر این اگر قضیه پیمانه ای درست بود، آنگاه می توان نتیجه گرفت که قضیه آخر فرما هم می تواند برقرار باشد. همانطور که توصیف شد، کشف این حکم معادل اخیر برای حل قضیه آخر فرما حیاتی بود، چرا که طریقی ایجاد می کرد که بوسیله آن می توانستند به مسئله با بررسی همه اعداد به صورت یک جا "حمله" کنند.

تاریخچه ریاضیاتی[ویرایش]

فیثاغورث و دیوفانتوس[ویرایش]

سه تایی های فیثاغورثی[ویرایش]

در زمان های باستانی، میدانستند که مثلثی با نسبت اضلاع دارای زاویه قائمه است. این نکته در ترسیم و بعدها در هندسه به کار گرفته شد. همچنین آن را به عنوان مثالی از قاعده کلی می شناختند که بنابر آن قاعده، اگر در هر مثلثی، مربع دو ضلع آن را با هم جمع کنند ()، مقدار حاصل برابر با مجذور ضلع سوم شود ()، در آن صورت آن مثلث هم یک مثلث قائم الزاویه خواهد بود. اکنون به این قاعده قضیه فیثاغورث می گویند و اعداد سه گانه ای که در این شرایط صدق کند را سه تایی های فیثاغورثی گویند، هردوی این ها به افتخار فیثاغورث یونان باستان نامگذاری شده است. مثال هایی از سه تایی های فیثاغورثی شامل (۳، ۴، ۵) و (۵، ۱۲، ۱۳) می باشد. بی نهایت از چنین سه تایی هایی وجود دارد،[۱۲] و روش هایی برای تولید چنین سه تایی هایی وجود دارند که توسط فرهنگ های مختلف مورد مطالعه قرار گرفته اند، اولین کسانی که به مطالعه آن ها پرداخته اند بابلی ها بوده[۱۳] و سپس ریاضیدانان یونان باستان، چینی ها، و هندی ها به مطالعه‌شان پرداختند.[۱] از نظر ریاضیاتی، تعریف سه تایی های فیثاغورثی به صورت مجموعه اعداد صحیح () می باشد که در معادله[۱۴] صدق می کنند.

معادلات سیاله‌ای[ویرایش]

معادله فرما، با جواب های صحیح مثبت، مثالی از یک معادله سیاله‌ای (یا دیوفانتینی) است،[۱۵] که به افتخار ریاضیدان قرن سوم میلادی از اسکندریه، دیوفانتوس، نامیده شده است. او کسی بود که این گونه معادلات را مطالعه کرده و روش هایی برای حل برخی از انواع معادلات سیاله ای (دیوفانتینی) توسعه داد. یک نمونه از چنین مسائلی یافتن دو عدد صحیح و است چنان که جمعشان، و جمع مربعاتشان به ترتیب برابر دو عدد داده شده و باشد:

اثر اصلی دیوفانوس، Arithmetica است، که تنها بخشی از آن باقی مانده است.[۱۶] حدس فرما از قضیه آخرش هنگام خواندن ویرایش جدیدی از Arithmetica به او الهام شد،[۱۷] نسخه ای که فرما از آن می خواند ترجمه ای به لاتین بود که در ۱۶۲۱ توسط کلاود باشت منتشر شده بود.[۱۸]

معادلات سیاله ای برای هزاران سال مطالعه شده اند. به عنوان مثال، حل معادله سیاله ای مربعی توسط سه تایی های فیثاغورثی، ابتدا توسط بابلی ها (۱۸۰۰ قبل از میلاد) حل شد.[۱۹] حل معادلات سیاله ای خطی چون را می توان با استفاده از الگوریتم اقلیدسی (قرن پنجم قبل از میلاد) بدست آورد.[۲۰] بسیاری از معادلات سیاله ای از نقطه نظر جبری فرمی شبیه به معادله قضیه آخر فرما دارند، چرا که آن ها هیچ جمله ای که از ضرب چند متغیر دیگر حاصل شده باشند را در خود نداشته، و بدین طریق ویژگی دو متغیر مختلف با هم ترکیب نمی شوند. به عنوان مثال، مشخص شده که بی نهایت عدد صحیح و وجود دارند چنان که که در آن و اعداد طبیعی متباین اند.[یادداشت ۲]


حدس فرما[ویرایش]

مسئله II.8 از کتاب آریتمتیکای دیوفانتوس
مسئله II.8 در ویرایش ۱۶۲۱ کتاب Arithmetica اثر دیوفانتوس. حاشیه سمت راست برای گنجاندن اثبات ادعایی اش از "قضیه آخر" بسیار کوچک بود.

مسئله II.8 از Arithmetica می پرسد که چگونه می توان یک عدد مربعی را به دو عدد مربعی دیگر جدا کرد؛ به بیان دیگر، برای یک عدد گویای داده شده چون ، اعداد گویای و را چنان پیدا کنید که . دیوفانتوس نشان داد که چگونه می توان این مسئله از جمع مربعات را برای حل کرد (جواب و است).[۲۱]

حدود ۱۶۳۷، فرما آخرین قضیه اش را در حاشیه نسخه ای که از Arithmetica داشت، کنار مسئله جمع مربعات دیوفانتوس نوشت:[۲۲]

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. امکان جدا کردن یک مکعب به مکعب‌ها، یا توان چهارم به توان‌های چهارم‌ها، یا در حالت کلی تر هر توانی بزرگتر از ۲ به دو توان مشابه وجود ندارد. من اثبات واقعاً حیرت‌آوری برای این نکته پیدا کرده ام که این حاشیه برای گنجانیدن آن بسیار کوچک است.[۲۳][۲۴]

بعد از مرگ فرما در ۱۶۶۵، فرزندش کلمنت-ساموئل فرما ویرایش جدیدی از آن کتاب را همراه با توضیحات پدرش در ۱۶۷۰ ایجاد نمود.[۲۵] گرچه که یادداشت حاشیه کتاب در آن زمان قضیه نبود (یعنی حکم ریاضیاتی بود بدون این که اثباتی برای آن موجود باشد)، به مرور زمان آن یادداشت به قضیه آخر فرما شهرت یافت،[۲۶] چرا که آخرین قضیه از قضایای ادعایی فرما بود که اثبات نشده باقی ماند.[۲۷]

معلوم نیست که آیا فرما واقعاً برای تمام توان‌های اثبات قابل قبولی یافته بود یا نه، اما به نظر نمی رسد که چنین اثباتی را یافته باشد. تنها یک اثبات مرتبط با آن توسط او باقی مانده، این اثبات مربوط به حالت است که در ادامه بدان می پردازیم. در حالی که فرما حالت های و را به عنوان چالشی برای همتایان ریاضیدان خود چون مارین مرسن، بلیز پاسکال و جان والیس ارائه نمود،[۲۸] هیچ گاه حالت کلی را مطرح نکرد.[۲۹] به علاوه، در سی سال آخر زندگی اش، فرما هیچگاه مجدداً در مورد "اثبات واقعاً شگفت انگیز"ش از حالت کلی چیزی ننوشت و هیچ گاه آن را نیز منتشر نکرد. ون در پورتن[۳۰] معتقد است که چیزی که مهم است عدم وجود اثبات نیست، بلکه عدم چالش به معنای این است که فرما متوجه شده بود که اثباتی ندارد؛ او به نقل قول ویل[۳۱] اشاره می کند آنجا که او گفت فرما باید کمی خود را نسبت به ایده ای غیر قابل حصول فریب داده باشد.

فنونی که فرما ممکن است از آن در چنان "اثبات شگفت انگیزی" استفاده کرده باشد شناخته شده اند.

اثبات تیلور و وایلز بر اساس فنون قرن بیستمی بنا نهاده شده است.[۳۲] بر اساس دانش ریاضیات موجود در آن زمان، اثبات فرما باید در مقایسه با این فنون مدرن مقدماتی و ساده بوده باشد.

در حالی که حدس بزرگ هاروی فریدمن دلالت بر این دارد که هر قضیه قابل اثباتی (شامل آخرین قضیه فرما هم می شود) را می توان صرفاً با استفاده از 'حساب تابع مقدماتی' اثبات کرد، چنین اثباتی تنها از جنبه فنی ساده خواهد بود ولی ممکن است شامل میلیون ها مرحله باشد و لذا برای اثباتی که فرما پیدا کرده بود بیش از حد حجیم است.


اثبات توان‌های خاص[ویرایش]

توان = ۴[ویرایش]

نزول نامتناهی فرما برای حالت قضیه آخر فرما در ویرایش ۱۶۴۰ از Arithmetica اثر دیوفانتوس (صفحات ۳۳۸-۳۳۹).

تنها یک اثبات مرتبط با قضیه آخر از فرما باقی مانده است که در آن او از تکنیک نزول نامتناهی استفاده کرده تا نشان دهد مساحت یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع صحیح هیچگاه نمی تواند برابر مربع یک عدد صحیح باشد.[۳۳][۳۴] اثبات او معادل این است که نشان دهیم معادله:

هیچ جواب اولیه ای (هیچ جواب دو به دو متباین) در اعداد صحیح ندارد. در مقابل، این قضیه آخر فرما را در حالت اثبات می کند چرا که را می توان به صورت نوشت.

سپس این افراد اثبات‌های دیگری برای حالت ارائه نمودند:[۳۵]

فرنیکل دو بسی (۱۶۷۶)،[۳۶] لئونارد اویلر (۱۷۳۸)،[۳۷] کاوسلر (۱۸۰۲)،[۳۸] پیتر بارلو (۱۸۱۱)،[۳۹] آدرین-ماری لژاندر (۱۸۳۰)،[۴۰] شوپیس (۱۸۲۵)،[۴۱] اولری ترکوئم (۱۸۴۶)،[۴۲] جوزف برتراند (۱۸۵۱)،[۴۳] ویکتور لبگ (۱۸۵۳، ۱۸۵۹، ۱۸۶۲)،[۴۴] تئوفیل پپین (۱۸۸۳)،[۴۵] تافلماخر (۱۸۹۳)،[۴۶] دیوید هیلبرت (۱۸۹۷)،[۴۷] بندز (۱۹۰۱)،[۴۸] گمبیولی (۱۹۰۱)،[۴۹] لیئوپولد کرونکر (۱۹۰۱)،[۵۰] بنگ (۱۹۰۵)،[۵۱] سومر (۱۹۰۷)،[۵۲] بوتاری (۱۹۰۸)،[۵۳] کارل ریشلیک (۱۹۱۰)،[۵۴] نوتژورن (۱۹۱۲)،[۵۵] رابرت کارمایکل (۱۹۱۳)،[۵۶] هانکوک (۱۹۳۱)،[۵۷] ورانسینو (۱۹۶۶)،[۵۸] گرنت و پرلا (۱۹۹۹)،[۵۹] باربارا (۲۰۰۷)،[۶۰] و دولان (۲۰۱۱).[۶۱]

یادداشت‌ها[ویرایش]

  1. اگر توان اول یا برابر 4 نبود، آنگاه امکان نوشتن به صورت ضرب دو عدد صحیح کوچکتر () که در آن یک عدد اول بزرگتر از 2 است، وجود خواهد داشت، سپس برای هر و داریم . یعنی، جواب معادلی برای توان های اول کمتر از هم باید وجود داشته باشد، یا در غیر این صورت به صورت توانی از 2، بزرگتر از 4 خواهد بود و با نوشتن همین استدلال را می توان تکرار کرد.
  2. به عنوان مثال،

منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Singh, pp. 18–20.
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ "Nigel Boston,p.5 "THE PROOF OF FERMAT'S LAST THEOREM"" (PDF).
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ ۳٫۲ Abel prize 2016 – full citation
  4. "Science and Technology". The Guinness Book of World Records. Guinness Publishing Ltd. 1995.
  5. Singh, p. 144 quotes Wiles's reaction to this news: "I was electrified. I knew that moment that the course of my life was changing because this meant that to prove Fermat’s Last Theorem all I had to do was to prove the Taniyama–Shimura conjecture. It meant that my childhood dream was now a respectable thing to work on."
  6. ۶٫۰ ۶٫۱ Singh, p. 144.
  7. "Fermat's last theorem earns Andrew Wiles the Abel Prize". Nature. 15 March 2016. Retrieved 15 March 2016.
  8. British mathematician Sir Andrew Wiles gets Abel math prize – The Washington Post.
  9. 300-year-old math question solved, professor wins $700k – CNN.com.
  10. Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 448. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. پیشنهاد فری مبنی بر نمادگذاری این قضیه، بدین منظور بود که نشان دهد خم بیضوی (فرضی) نمی تواند پیمانه ای باشد.
  11. Ribet, Ken (1990). "On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms" (PDF). Inventiones Mathematicae. 100 (2): 432. Bibcode:1990InMat.100..431R. doi:10.1007/BF01231195. hdl:10338.dmlcz/147454. MR 1047143.
  12. Stillwell J (2003). Elements of Number Theory. New York: Springer-Verlag. pp. 110–112. ISBN 0-387-95587-9. Retrieved 2016-03-17.
  13. Aczel, pp. 13–15
  14. Stark, pp. 151–155.
  15. Stark, pp. 145–146.
  16. Singh, pp. 50–51.
  17. Stark, p. 145.
  18. Aczel, pp. 44–45; Singh, pp. 56–58.
  19. Aczel, pp. 14–15.
  20. Stark, pp. 44–47.
  21. Friberg, pp. 333–334.
  22. Dickson, p. 731; Singh, pp. 60–62; Aczel, p. 9.
  23. T. Heath, Diophantus of Alexandria Second Edition, Cambridge University Press, 1910, reprinted by Dover, NY, 1964, pp. 144–145
  24. Panchishkin, p. 341
  25. Singh, pp. 62–66.
  26. Dickson, p. 731.
  27. Singh, p. 67; Aczel, p. 10.
  28. Ribenboim, pp. 13, 24.
  29. van der Poorten, Notes and Remarks 1.2, p. 5.
  30. van der Poorten, loc. cit.
  31. André Weil (1984). Number Theory: An approach through history. From Hammurapi to Legendre. Basel, Switzerland: Birkhäuser. p. 104.
  32. BBC Documentary.
  33. Freeman L. "Fermat's One Proof". Retrieved 23 May 2009.
  34. Dickson, pp. 615–616; Aczel, p. 44.
  35. Ribenboim, pp. 15–24.
  36. Frénicle de Bessy, Traité des Triangles Rectangles en Nombres, vol. I, 1676, Paris. Reprinted in Mém. Acad. Roy. Sci., 5, 1666–1699 (1729).
  37. Euler L (1738). "Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes". Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. 10: 125–146.. Reprinted Opera omnia, ser. I, "Commentationes Arithmeticae", vol. I, pp. 38–58, Leipzig:Teubner (1915).
  38. Kausler CF (1802). "Nova demonstratio theorematis nec summam, nec differentiam duorum cuborum cubum esse posse". Novi Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 13: 245–253.
  39. Barlow P (1811). An Elementary Investigation of Theory of Numbers. St. Paul's Church-Yard, London: J. Johnson. pp. 144–145.
  40. Legendre AM (1830). Théorie des Nombres (Volume II) (3rd ed.). Paris: Firmin Didot Frères. Reprinted in 1955 by A. Blanchard (Paris).
  41. Schopis (1825). Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik. Gummbinnen: Programm.
  42. Terquem O (1846). "Théorèmes sur les puissances des nombres". Nouvelles Annales de Mathématiques. 5: 70–87.
  43. Bertrand J (1851). Traité Élémentaire d'Algèbre. Paris: Hachette. pp. 217–230, 395.
  44. Lebesgue VA (1853). "Résolution des équations biquadratiques z2 = x4 ± 2my4, z2 = 2mx4y4, 2mz2 = x4 ± y4". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 18: 73–86.Lebesgue VA (1859). Exercices d'Analyse Numérique. Paris: Leiber et Faraguet. pp. 83–84, 89.Lebesgue VA (1862). Introduction à la Théorie des Nombres. Paris: Mallet-Bachelier. pp. 71–73.
  45. Pepin T (1883). "Étude sur l'équation indéterminée ax4 + by4 = cz2". Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Serie IX. Matematica e Applicazioni. 36: 34–70.
  46. A. Tafelmacher (1893). "Sobre la ecuación x4 + y4 = z4". Anales de la Universidad de Chile. 84: 307–320. doi:10.5354/0717-8883.1893.20645 (inactive 2019-08-20).
  47. Hilbert D (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 4: 175–546. Reprinted in 1965 in Gesammelte Abhandlungen, vol. I by New York:Chelsea.
  48. Bendz TR (1901). Öfver diophantiska ekvationen xn' + yn = zn (Thesis). Uppsala: Almqvist & Wiksells Boktrycken.
  49. Gambioli D (1901). "Memoria bibliographica sull'ultimo teorema di Fermat". Periodico di Matematiche. 16: 145–192.
  50. Kronecker L (1901). Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. I. Leipzig: Teubner. pp. 35–38. Reprinted by New York:Springer-Verlag in 1978.
  51. Bang A (1905). "Nyt Bevis for at Ligningen x4y4 = z4, ikke kan have rationale Løsinger". Nyt Tidsskrift for Matematik. 16B: 31–35. JSTOR 24528323.
  52. Sommer J (1907). Vorlesungen über Zahlentheorie. Leipzig: Teubner.
  53. Bottari A (1908). "Soluzione intere dell'equazione pitagorica e applicazione alla dimostrazione di alcune teoremi della teoria dei numeri". Periodico di Matematiche. 23: 104–110.
  54. Rychlik K (1910). "On Fermat's last theorem for n = 4 and n = 3 (in Bohemian)". Časopis Pro Pěstování Matematiky a Fysiky. 39: 65–86.
  55. Nutzhorn F (1912). "Den ubestemte Ligning x4 + y4 = z4". Nyt Tidsskrift for Matematik. 23B: 33–38.
  56. Carmichael RD (1913). "On the impossibility of certain Diophantine equations and systems of equations". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 20 (7): 213–221. doi:10.2307/2974106. JSTOR 2974106.
  57. Hancock H (1931). Foundations of the Theory of Algebraic Numbers, vol. I. New York: Macmillan.
  58. Vrǎnceanu G (1966). "Asupra teorema lui Fermat pentru n=4". Gazeta Matematică Seria A. 71: 334–335. Reprinted in 1977 in Opera matematica, vol. 4, pp. 202–205, Bucureşti: Editura Academiei Republicii Socialiste România.
  59. Grant, Mike, and Perella, Malcolm, "Descending to the irrational", Mathematical Gazette 83, July 1999, pp. 263–267.
  60. Barbara, Roy, "Fermat's last theorem in the case n=4", Mathematical Gazette 91, July 2007, 260–262.
  61. Dolan, Stan, "Fermat's method of descente infinie", Mathematical Gazette 95, July 2011, 269–271.

کتاب‌شناسی[ویرایش]

برای مطالعه بیشتر[ویرایش]