گروه لی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

گروه لی (Lie group) گروه‌های لی در حد فاصل بین دو شاخه بزرگ ریاضی یعنی جبر و توپولوژی قرار دارند. ویژگی جبری آنها از اصول موضوعه گروه گرفته می‌شود و خواص هندسی آنها از پارامتریزه کردن عناصر این گروه‌ها بوسیله نقاطی از یک خمینه دیفرانسیل پذیر تحصیل می شود.

مقدمه[ویرایش]

تبدیلات پیوسته توسط ماریوس سوفوس لی به عنوان یک ابزار برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی معرفی شدند.[۱] این کار لی به تعریف و مطالعه گروه‌های لی منجر شد. او دریافت که ساختار گروه مربوط به یک معادلات دیفرانسیل معمولی مشخص می‌کند که آن معادله قابل حل یا ساده شدن هست یا نه و علاوه بر آن راه و روشی برای حل یا ساده تر کردن معادله ارائه می دهد. لی در ادامه به بررسی گروه هایی از معادلات دیفرانسیل پرداخت که ناوردا باشند. پس از آن او به مطالعه فرزندانی که این نظریه خواهد داشت پرداخت که امروزه ما آنها را با گروه‌های لی می شناسیم. گروه‌های لی بسیار زیبا هستند، آنقدر زیبا که خود به تنهایی به عنوان ابزاری برای حل معادلات دیفرانسیل و مطالعه توابع خاصی که توسط دسته خاصی از این معادلات تعیین می‌شود به کار می رود.

تقسیم بندی گروه‌های لی[ویرایش]

گروه‌های لی به دو دسته پایه ای تقسیم می شوند: گروه‌های لی ساده و حل پذیر.

گروه‌های ساده این ویژگی را دارند که خود را تحت خاصیت جابجایی باز تولید می کنند. گروه‌های حل پذیر این گونه نیستند و شامل زنجیره ای از زیر گروه‌های هستند که هر کدام یک زیرگروه ناوردا از قبلی اش است.

گروه‌های ساده و حل پذیر خشت‌های بنای گروه‌های لی هستند. گروه‌های نیم ساده ضرب مستقیم گروه‌های لی ساده اند. گروه‌های غیرنیمه ساده ضرب نیم مستقیم گروه‌های (نیم) ساده با زیر گروه‌های ناوردای حل پذیر است.

گروه‌های حل پذیر مربوط به معادلات دیفرانسیل حل پذیر و یا حداقل ساده شونده است. اما گروه‌های ساده به قدری موضوعات جالبی را پیش می کشند که بیشتر تلاش ریاضی دانان در یک قرن اخیر تنها در دسته بندی کردن و شمارش کامل و بررسی ویژگی‌های آنها مصروف گشته است. با این وجود هنوز یک دسته بندی کامل از گروه‌های لی حل پذیر و بنابراین گروه‌های لی غیر نیمه ساده انجام نگرفته است.

ویژگی‌های جبری[ویرایش]

گروه‌های لی ساختاری بیش از گروه دارند. به طور عمومی هر عضو از گروه لی (g_i\in G) یک نقطه بر روی یک خمینه n بعدی M^n است، به گونه ای که می توانیم بنویسیم g_i=g(x) یا به صورت ساده تر g_i=x. ضرب گروه را می توان به صورت g_i\circ g_j=g_k\to
g(x)\circ g(y)=g(z) که در آن x\in M^n،y\in M^n،z=\phi(x,y)\in M^n است.معکوس اعضای گروه را به صورت g(x)^{(-1)}=g(y) می توان نوشت.

ویژگی‌های توپولوژیکی[ویرایش]

ویژگی توپولوژیکی گروه لی از مشخص کردن هر عنصر گروه در یک فضای توپولوژیکی: g_i=g(x) نشات می‌گیرد. به بیان دیگر اندیس i به یک یا چند متغیر حقیقی پیوسته وابسته است. فضای توپولوژیکی که عناصر یک گروه لی را پارامتریزه می‌کند یک خمینه است. اصول موضوعه توپولوژیگی گروه‌های لی را می توان به صورت زیر بیان کرد:

پیوستگی ترکیب: تصویر z=\phi (x,y) که بوسیله قانون ترکیب تعریف می شود، دیفرانسیل پذیر است.

پیوستگی معکوس: تصویر y=\psi(x) که توسط قانون معکوس گروه تعریف می شود، دیفرانسیل پذیر است.

گروه‌های لی ماتریسی[ویرایش]

اگر چه تمام گروه‌های لی ماتریسی نیستند، اما بسیار جالب است بگوییم که تقریباً هر گروه لی ظاهر شده در فیزیک یک گروه لی ماتریسی است. همه این گروه‌ها یک زیر گروه از گروه‌های خطی عمومی GL(n,F) با n\times n تا ماتریس ناتکینه بر روی میدان F(R,C,Q) می باشند. همه این گروه‌ها به ترتبیب دارای بعد حقیقیی n^2\times (1,2,4) می باشند. زیرگروه‌های خاص SL(n,F) به صورت زیرگروه هایی از n\times n تا ماتریس با دترمینان +1 تعریف می شوند. به بیان دیگر M\in SL(n,F) است اگر det(M)=+1 باشد. گروه هایی که متریک g را ثابت نگه می دارند U(n,F)، طول را در فضاهای برداری خطی ناوردا نگه می دارند. ماتریسهایی که M\in U(n,F) در رابطه M^\dagger g M=g صدق می کنند. این شرایط گروه‌های اورتوگونال O(n)=U(n,R) و گروه‌های یکانی U(n)=U(n,C) را تعریفی می کند.

جستارهای وابسته[ویرایش]

گروه

توپولوژی

جبر لی

خطی کردن یک گروه لی

منابع[ویرایش]

  1. R. Gilmore, Lie Groups, Physics, and Geometry, Cambridge: Univer- sity Press, 2008, ISBN 978-0-521-88400