گروه لی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

گروه‌های لی (Lie group) گروه‌های لی در حد فاصل بین دو شاخه بزرگ ریاضی یعنی جبر و توپولوژی قرار دارند. ویژگی جبری آن‌ها از اصول موضوعه گروه گرفته می‌شود و خواص هندسی آن‌ها از پارامتریزه کردن عناصر این گروه‌ها به وسیلهٔ نقاطی از یک خمینه دیفرانسیل پذیر تحصیل می‌شود.

مقدمه[ویرایش]

در ریاضیات ، یک گروه "لی" گروهی است که عناصر آنها بطور مداوم و یکنواخت، بر خلاف گروه های گسسته که در آنها عناصر از هم جدا می شوند، سازماندهی می شوند - این باعث می شود گروه های لی به منیفولدهای قابل دیفرانسیل گیری تبدیل شوند. گروه های لی به نام ریاضی دان نروژی "سوفوس لی" نامگذاری شده اند که پایه های تئوری گروه های دگرگونی پیوسته را پایه گذاری کرده است. به طور تقریبی، یک گروه لی یک گروه پیوسته است، یعنی گروهی که عناصر آن با چندین پارامتر واقعی توصیف می شوند. به این ترتیب، گروه های لی یک الگوی طبیعی برای مفهوم تقارن پیوسته، مانند تقارن چرخشی در سه بعد را ارائه می دهند. گروه های لی در بسیاری از بخش های ریاضیات و فیزیک مدرن به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرند. انگیزه اصلی لی برای معرفی گروه های لی، مدلسازی تقارن پیوسته از معادلات دیفرانسیل بود، به همان روشی که گروههای محدود در تئوری گالوا برای مدل سازی تقارن های گسسته معادلات جبری استفاده می کنند. بررسی اجمالی گروه های لی، منیفولدهای قابل تشخیص یکنواخت هستند و برخلاف گروههای توپولوژیک کلی، می توانند با استفاده از حساب دیفرانسیل مورد مطالعه قرار گیرند. یکی از ایده های اصلی در تئوری گروه های لی، جایگزین کردن جسم جهانی یا گروه با نسخه محلی یا خطی است که خود لی آن را "گروه بینهایت" نامید و از آن زمان به عنوان جبر لی شناخته شده است.


گروه های لی در هندسه مدرن و در چندین سطح مختلف نقش بسیار مهمی دارند. فلیکس کلین در برنامه ارلانژ استدلال کرد که می توان با مشخص کردن یک گروه تبدیل مناسب که خصوصیات هندسی خاصی را ثابت درنظر نمی گیرد هندسه های مختلفی را در بر گرفت. بنابراین هندسه اقلیدسی منطبق با انتخاب گروه 3E (گروه اقلیدسی سه بعدی) تبدیل های فاصله ثابت از فضای اقلیدسی 3R، هندسه کنفورمالی (همدیس) مربوط به بزرگ کردن گروه به گروه کانفورمال آن است، در حالی که در هندسه تصویری خصوصیات ثابت تحت گروه تصویر شده اهمیت دارد. این ایده بعداً به مفهوم ساختار G منجر شد، جایی که G یک گروه لی از تقارن "محلی" یک منیفولد است.


گروه های لی (و جبر لی مربوط به آنها) در فیزیک مدرن نقش عمده ای دارند ، به طور معمول گروه لی نقش تقارن را در یک سیستم فیزیکی بازی می کند. در اینجا، بازنمایی های گروه لی (یا جبر لی آن) از اهمیت ویژه ای برخوردار است. نظریه بازنمایی در فیزیک ذرات بسیار مورد استفاده قرار می گیرد. گروه هایی که بازنمایی آن ها از اهمیت ویژه ای برخوردار است شامل گروه چرخشی سه بعدی (یا پوشش SU2 آن) ، گروه ویژه SU3 و گروه Poincaré می باشد.


در سطح "جهانی" ، هر زمان که یک گروه لی روی یک جسم هندسی، مانند یک ریمن یا مانیفولد متقارن عمل کند، این عمل یک معیار از استحکام را ارائه داده و یک ساختار جبری غنی را به همراه دارد. حضور تقارن پیوسته بیان شده از طریق یک گروهی لی بر روی منیفولد محدودیت های چشمگیری بر هندسه آن می گذارد و تجزیه و تحلیل منیفولد را تسهیل می کند. اقدامات خطی گروه های لی از اهمیت ویژه ای برخوردار است و در تئوری بازنمایی مورد مطالعه قرار می گیرد.


در دهه های 1940 و 1950 ، الیس کلچین ، آرماند بورل و کلود چواللی متوجه شدند که بسیاری از نتایج بنیادی مربوط به گروه های لی می تواند کاملاً جبری توسعه یابد و این امر باعث ایجاد نظریه گروه های جبری در یک زمینه دلخواه می شود. این دیدگاه با ارائه ساختاری یکنواخت برای اکثر گروه های ساده محدود و همچنین در هندسه جبری، امکانات جدیدی را در جبر خالص ایجاد کرد. تئوری اشکال اتومورف، شاخه مهمی از نظریه اعداد مدرن، به طور گسترده با آنالوژی های گروه های لی در مورد حلقه های آدل سروکار دارد. گروه های p-adic بدلیل ارتباط آنها با بازنمایی های گالوا در نظریه اعداد، نقش مهمی دارند.

تعاریف و مثال ها[ویرایش]

یک گروه واقعی لی، گروهی است که همچنان یک منیفولد یکنواخت واقعی با ابعاد محدود است، که در آن عملیات گروهی ضرب و وارونگی نگاشت های یکنواختی هستند. یکنواختی ضرب گروه ی:

تعاریف و مثال ها1.png

این بدان معنی است که μ یک نگاشت یکنواخت از منیفولد محصول G × G به G. است. این دو مورد را می توان با یک شرط واحد نگاشت کرد

تعاریف و مثال ها 2.png

یک نگاشت یکنواخت از منیفولد محصول در G است.


مثال های اولیه

ماتریس های وارون پذیر 2 × 2 گروهی را تحت ضرب تشکیل می دهند که توسط GL2(R) و یا GL(2,R) مشخص شده است:

تعاریف و مثال ها3.png

این یک گروه لی واقعی چهار بعدی فشرده نشده است. این یک زیر مجموعه باز از R4 است. این گروه منقطع است اگر دو مؤلفه متصل، نمایانگر مقادیر مثبت و منفی دترمینان باشند. ماتریس چرخش یک زیر گروه GL(2,R) تشکیل می دهد که توسط SO(2,R) مشخص شده است. این به خودی خود یک گروه لی است: به طور خاص، یک گروه لی یک بعدی فشرده متصل که نسبت به دایره دیفئومورفیک است. با استفاده از زاویه چرخش به عنوان یک پارامتر، این گروه را می توان به شرح زیر پارامتری نمود:


تعاریف و مثال ها4.png

اضافه کردن زاویه های متناظر با ضرب عناصر SO(2,R) و گرفتن زاویه مخالف با معکوس آن تطابق خواهد داشت. بنابراین هم ضرب و هم وارونگی نگاشت های دیفرانسیل پذیر هستند. گروه وابسته یک بعدی، یک گروه ماتریس دوبعدی لی است که از ماتریس های مثلثی 2 * 2 واقعی و بالایی تشکیل شده است که ورودی قطری اول مثبت و ورودی قطری دوم برابر با 1 است. بنابراین، این گروه از ماتریس هایی به فرم زیر تشکیل شده است:


تعاریف و مثال ها5.png

مثال دیگر

اکنون نمونه ای از یک گروه با تعداد بیشماری از عناصر را ارائه می دهیم که تحت یک توپولوژی مشخص، یک گروه لی نیست. این گروه بصورت زیر ارائه می شود:


تعاریف و مثال ها6.png

که در آن aϵ R⁄Q یک عدد گنگ ثابت است که یک زیر مجموعه از چنبره ها (T^2) بوده که در زیر فضای آن یک گروه لی نخواهد بود. اگر ما در هر همسایگی U در نقطه ی h از H را انتخاب کنیم، قسمتی از H در U منقطع خواهد بود. گروه H مداوم دور چنبره میچرخد بدون اینکه هیچگاه به نقطه ی تکراری از روی حلقه عبور کند و یک زیر گروه متراکم T^2 را تولید میکند. با این حال ، گروه H می تواند یک توپولوژی متفاوت را ارائه دهد، که در آن فاصله بین دو نقطه h_1,h_2 ϵH به عنوان طول کوتاهترین مسیر در پیوستن h_1,h_2 به گروه H تعریف می شود. در این توپولوژی، H با مشخص کردن هر عنصر با یک عدد θ در تعریف H به صورت همگن با خط واقعی مشخص می شود. با استفاده از این توپولوژی، H فقط گروه اعداد حقیقی اضافه می شود و بنابراین یک گروه لی خواهد بود. این گروه نمونه ای از "زیر گروه لی" از یک گروه لی است که بسته نشده است. بحث زیر را درباره ی زیر گروه های لی را در بخش مفاهیم اساسی مشاهده کنید.


ماتریس های گروه لی

فرض میکنیم GL(n;C) گروه ماتریس های معکوس پذیر n × n را با ورودی در C. مشخص کند. هر زیر گروه بسته GL(n;C) یک گروه لی است. گروه های لی از این نوع به گروه های لی ماتریس شهرت دارند. از آنجا که بسیاری از نمونه های جالب گروه های لی به عنوان گروه های لی ماتریسی قابل درک هستند، برخی از کتاب های درسی توجه به این گروه را محدود می کنند، از جمله نمونه های هال و راسمان. محدود کردن توجه به گروه های لی، تعریف جبر لی و نگاشت نمایی را ساده تر می کند. در زیر نمونه های استاندارد گروه های لی ماتریس هستند:


  • گروه های خطی ویژه R و C,SL(n;R) و ( SL(n;C، متشکل از ماتریس n × n با دترمینان یک و ورودی های R یا C.
  • گروه های واحد و گروه های ویژه یکه، U (n) و SU (n) ، متشکل از n × n ماتریس های موهومی که شرط U^*=U^(-1) (و همچنین در مورد SU (n) داریم: det(U)=1) را ارضا میکند -گروه های متعامد و گروه های ویژه متعامد O ، O (N) و SO (n) ، متشکل از n × n ماتریس واقعی که شرط R^T=R^(-1) (و همچنین در مورد SO (n) داریم: det(R)=1)
  • همه نمونه های بالا تحت عنوان گروه های کلاسیک قرار می گیرند.


موضوعات مرتبط

یک گروه موهومی لی به همان روش با استفاده از منیفولدهای موهومی به جای نمونه های واقعی تعریف می شود (به عنوان مثال: SL(2;C) ) و به همین ترتیب، با استفاده از یک ترکیب متریک متناوب از Q، می توان یک گروه لی p-adic تعریف کرد، یعنی یک گروه توپولوژیک که در آن هر نقطه یک همسایگی p-adic دارد. مساله پنجم هیلبرت این را می پرسید که آیا جایگزین کردن منیفولدهای دیفرانسیل پذیر با موارد توپولوژیکی یا تحلیلی می تواند نمونه های جدیدی به بار آورد؟ جواب این سوال منفی است:

در سال 1952 ، گلیسون ، مونتگومری و زیپین نشان دادند که اگر G یک منیفولد توپولوژیکی با عملیات پیوسته گروهی باشد، پس دقیقاً یک ساختار تحلیلی در G وجود دارد که آن را به یک گروه لی تبدیل می کند (همچنین به حدس هیلبرت - اسمیت مراجعه کنید). اگر مانیفولد زیرین اجازه داده شود بی نهایت (مثلاً منیفولد هیلبرت) باشد ، آنگاه فرد به مفهوم یک گروه لی بی نهایت می رسد. می توان آنالوگ های بسیاری از گروه های لی را بر روی زمینه های محدود تعریف کرد ، و اینها بیشتر نمونه های گروه های ساده محدود را ارائه می دهد. زبان تئوری طبقه بندی تعریف مختصری را برای گروه های لی ارائه می دهد: یک گروه لی یک گروه در دسته منیفولدهای پیوسته است. این تعریف مهم است زیرا این امکان را فراهم می کند که مفهوم یک گروه لی را به زیرگروه های لی تعمیم دهیم.


تعریف توپولوژیکی

یک گروه لی را می توان به عنوان یک گروه توپولوژیکی (Hausdorff) تعریف کرد که، در تعریف، بدون اشاره به منیفولدها دیفرانسیل پذیر، مانند یک گروه تبدیلی به نظر می رسد. ابتدا، ما یک گروه لی خطی جا دهنده را تعریف می کنیم تا یک زیر گروه G از گروه خطی عمومی GL(n,C)باشد به گونه ای که:


برای بعضی از همسایگی های V از عنصر هویت e واقع در G، توپولوژی در V، توپولوژی زیر فضایی GL(n.C) بوده و V در GL(n,C) بسته است.G تقریباً تعداد زیادی از مؤلفه های متصل به هم دارند. (برای مثال، یک زیر گروه بسته از GL(n,C)؛ یعنی یک گروه ماتریس لی شرایط فوق را برآورده می کند.) سپس یک گروه لی به عنوان یک گروه توپولوژیکی تعریف می شود که (1) به صورت محلی در نزدیکی نقطه مشخصه نسبت به یک گروه لی غیر خطی جا دهنده، ایزومورف است و (2) مولفه های متصل به هم بسیاری دارد. نشان دادن تعریف توپولوژیک معادل معمول فنی آن است اما تقریباً به شرح زیر انجام می شود:


  1. با توجه به یک گروه لی G در معنای معمول یک منیفولد، تناظر گروه لی با جبر لی (یا نسخه ای از قضیه سوم لی) یک زیر گروه لی جا دهنده را ایجاد می کند که دارای همان جبر لی است. بنابراین، آنها بطور محلی ایزومورفیک هستند. از این رو ، G تعریف توپولوژیکی فوق را برآورده می کند
  2. برعکس، بگذارید G یک گروه توپولوژیکی باشد که یک گروه لی به معنای توپولوژیکی فوق تعریف شده باشد و یک گروه لی خطی جا دهنده (G^') را انتخاب کنید که به صورت محلی همسان با G باشد. سپس، با استفاده از یک حالت تئوری زیرگروه ها بسته، G^' یک منیفولد تحلیلی واقعی است و سپس، G یک ساختار منیفولد نزدیک به عنصر یگانه را میگیرد. سپس میتوان نشان داد که قانون گروه در مورد G را می تواد توسط سری های توانی رایج ارائه کرد. بنابراین عملیات های گروهی واقعی- تحلیلی هستند و خود G یک منیفولد تحلیلی واقعی است.تعریف توپولوژیک این جمله را بیان می کند که اگر دو گروه لی مانند گروه های توپولوژیک، ایزومورفیک باشند، به عنوان گروه های لی نیز ایزومورفیک هستند. در حقیقت، این اصل کلی را بیان می کند که تا حد زیادی توپولوژی یک گروه لی به همراه قانون آن گروه، هندسه گروه را تعیین می کنند.

مثال های بیشتری از گروه لی[ویرایش]

گروه های لی به وفور در کل ریاضیات و فیزیک رخ می دهند. گروه های ماتریس یا گروه های جبری (تقریباً) گروه ماتریس هستند (به عنوان مثال ، گروه های متعامد و متقارن) و اینها بیشتر نمونه های متداول گروه های لی را نشان می دهد.


یک و دو بعدی

تنها گروههای لی مرتبط با بعد یک خط واقعی R (با اضافه کردن عملیات گروه) و گروه دایره S^1 از اعداد موهومی با ارزش مطلق (با عملیات گروه ضرب) است. گروه S^1 را غالبا بصورت U(1)، یعنی گروه ماتریس ها 1*1 واحد، نشان می دهند. در دو بعد، اگر ما توجه را به گروههای ساده متصل محدود كنیم، آنها توسط جبر های لی خود طبقه بندی می شوند. فقط دو جبر لی به ابعاد دو وجود دارد. گروه های لی متصل شده R^2 (با عملیات گروه علاوه بردار) و گروه وابسته در یک بعد، که در زیر بخش قبلی با عنوان "مثال های اولیه" توضیح داده شده است. -گروه SU(2) گروه ماتریس های واحد 2*2 با دترمینان 1 است. از نظر توپولوژیک SU(2) یک 3-کره (3-sphere) از S^3 است. به عنوان یک گروه، ممکن است با گروه کواترنیون های واحد شناسایی شود. -گروه هایزنبرگ یک گروه لی بی روح (nilpotent) متصل به بعد 3 است و در مکانیک کوانتومی نقش اساسی دارد.

گروه Lorentz یک گروه 6 بعدی لی از ایزومترهای خطی فضای Minkowski است. -گروه Poincaré یک گروه لی 10 بعدی از ایزومترهای وابسته به فضای Minkowski است. -گروه های استثنایی لی از انواع G_2، F_4، E_6، E_7، E_8 بوده که دارای ابعاد 284، 133، 78، 52 و 14هستند.

همراه با سری A-B-C-D از گروه های ساده لی، گروه های استثنایی لیست گروه های ساده لی را تکمیل می کنند.

-گروه نمادین Sp(2n,R)شامل همه ماتریسهای 2n*2n با حفظ فرم دلخواه در R^2n است. این یک گروه لی متصل، با ابعاد 〖2n〗^2+n است.


سازه ها

چندین روش استاندارد برای تشکیل گروه های جدید لی از گروه های قدیمی وجود دارد:

  • محصول دو گروه لی یک گروه لی است. -هر زیر گروه بسته توپولوژیکی از یک گروه لی یک گروه لی است. این به عنوان تئوری زیر گروه بسته یا تئوری کارتان معروف است.
  • خارج قسمت یک گروه لی توسط یک زیر گروه بسته نرمال، یک گروه لی است. -پوشش جهانی یک گروه لی متصل ، یک گروه لی است. به عنوان مثال، گروه R پوشش جهانی گروه دایره S^1 است. در حقیقت، هر نوع پوشش یک منیفولد دیفرانسیل پذیر نیز یک منیفولد دیفرانسیل پذیر است، اما با تعیین پوشش جهانی، یک ساختار گروهی (سازگار با سایر ساختارهای آن) را تضمین می کند.


مفاهیم مرتبط

برخی از نمونه های گروه هایی که گروه های لی نیستند (به جز به معنای پیش پا افتاده ای که هر گروه با تعداد بسیار زیادی از عناصر قابل شمارش می باشد، می تواند به عنوان یک گروه صفر بعدی لی، با توپولوژی گسسته قابل مشاهده باشد):

  • گروه های با بینهایت بعد، مانند گروه اضافه شده ی یک فضای بردار واقعی بی نهایت. اینها گروه های لی نیستند زیرا مانیفولد های با بعد محدود نیستند.
  • رخی از گروههای کاملاً منقطع، مانند گروه گالوا از یک زمینه نامحدود یا گروه اضافه شده ی اعداد p-adic. اینها گروه های لی نیستند زیرا که فضاهای اصلی آنها منیفولدهای واقعی نیستند. (برخی از این گروه ها "گروه های لی p-adic هستند.) بطور کلی، فقط گروه های توپولوژیکی که دارای خواص محلی مشابه R^n هستند، برای برخی از اعداد صحیح مثبت مانند n می توانند گروههای لی باشند (البته آنها همچنین باید ساختار دیفرانسیل پذیری داشته باشند).

نظریه های پایه[ویرایش]

جبر لی در ارتباط با گرو لی

برای هر گروه لی، می توانیم یک جبر لی را که فضای بردار زیرین آن فضای مماسمی (تانژانت) گروه لی در عنصر نقطه مشخصه است و ساختار محلی آن گروه را کاملاً ضبط می کند، مرتبط کنیم. به طور غیررسمی می توانیم عناصر جبر لی را به عنوان عناصر گروهی که از نظر نقطه مشخصه "بی نهایت نزدیک" واحد هستند، درنظر بگیریم و براکت لی از جبر لی مرتبط با جابجاگر دو عنصر نامتناهی است. قبل از ارائه تعریف انتزاعی، چند مثال آورده ایم:

  • جبر لی فضای برداری R^n، همان R^n است که براکت لی توسط [A,B]=0 ارائه میشود.
  • به طور کلی ، براکت لی از یک گروه لی متصل، همیشه 0 است اگر و فقط اگر گروه لی جابجا پذیر باشد)
  • جبر لی از گروه خطی عمومی GL(n,C) از ماتریس های بازگشت ناپذیر، فضای برداری M(n,C)از ماتریس های مربعات است که براکت لی توسط رابطه ی زیر بدست می آید: [A,B]=AB-BA.
  • اگر G یک زیرگروه بسته از GL(n,C) باشد، پس جبر لی از G را می توان بصورت غیر رسمی بعنوان ماتریس های m از M(n,R) مانند 1+εm را در G بطوری در نظر گرفت که که در آن ε یک عدد مثبت بی نهایت با ε^2=0 باشد. (البته چنین عدد واقعی وجود ندارد). برای مثال، گروه متعامد O(n,R) شامل ماتریس A که 〖AA〗^T=1، تا جبر لی شامل ماتریس های m با (1+εm) (1+εm)^T=1 شود، که معادل است با m+m^T=0 زیرا ε^2=0.
  • شرح قبلی را می توان به صورت زیر سختگیرانه تر کرد. جبر لی زیر گروه بسته G از GL(n,C)، ممکن است بصورت زیر محاسبه شود:
Lie(G)={X∈M(n;C)│exp⁡(tX)∈G ،Rدر t مقادیر تمام ازای به} که exp(tX) توسط ماتریس نمایی تعریف می شود.

سپس می توان نشان داد که جبر لی از G یک فضای بردار واقعی است که تحت عمل براکت بسته می شود:

  • [X,Y]=XY-YX . کار با تعریف مشخصی که در بالا برای گروه های ماتریسی آورده شده است، آسان است اما برخی مشکلات جزئی نیز دارد: برای استفاده از آن ابتدا باید گروه لی را به عنوان یک گروه از ماتریس ها بنویسیم، اما همه گروه های لی را نمی توان از این طریق نشان داد، و حتی آشکار نیست که جبر لی مستقل از آنچه نشان دادیم خواهد بود. برای حل این مشکلات، یک تعریف کلی از جبر لی از یک گروه لی (در 4 مرحله) ارائه می دهیم:بازه های برداری در هر منیفولد هموار M را می توان به عنوان مشتقات X از حلقه توابع هموار روی منیفولد تصور کرد و بنابراین یک جبر لی را در زیر براکت [X,Y]=XY-YX تشکیل داد ، زیرا براکت لی از هر دو مشتق، یک مشتق است.
  • گر G هر گروهی که بر روی منیفولد M هموارعمل می کند باشد، پس آن بازه های برداری عمل می کند، و فضای برداری از بازه های برداری که توسط گروه ثابت شده است،تحت براکت لی بسته شده و همچنین یک جبر لی را تشکیل می دهد.
  • ما این ساختمان را در مواردی به کار می بریم که منیفولد M فضای زیربنای یک گروه لی G باشد، بطوری که G بر روی G = M با تفسیر چپ L_g (h)=gh عمل می کند. این نشان می دهد که فضای میدانهای بردار چپ ثابت (بازه های بردار که در آنها شرط L_(g*) (h)=X_gh برای هر h در G، که در آن L_(g*) نشانگر دیفرانسیل L_gاست، اعمال میشود) در یک گروه لی یک جبر لی تحت براکت لی از بازه های برداری است.
  • هر بردار مماس در نقطه مشخصه یک گروه لی می تواند با تفسیر سمت چپ بردار مماس به سایر نقاط منیفولد، به یک بازه بردار ثابت تغییر یابد. به طور خاص، پسوند چپ ثابت یک عنصر v از فضای مماس در نقطه مشخصه، میدان برداری است که توسط V_g^^=L_(g*) V تعریف شده است. این فضای مماسی T_e G در نقطه مشخصه با فضای بازه های بردار ثابت سمت چپ را نشان می دهد و در نتیجه باعث می شود فضای مماسی در نقطه مشخصه به یک جبر لی، به نام جبر لی از G نشان داده شده که معمولا توسط یک فراکتور g نشان داده می شود. علاوه بر این براکت لی در g بصورت خاص به شکل [v,w]=〖[v^^,w^^]〗_e نشان داده می شود.


جبر لی g دارای ابعاد محدود است و ابعادی برابر با منیفلد G دارد .جبر لی G ، G را تا "ایزومورف محلی" تعیین می کند، جایی که دو گروه لی به صورت محلی ایزومورف هستند اگر آنها در مجاورت نقطه مشخصه یکسان دیده شوند. مسائل مربوط به گروه های لی اغلب با حل مساله مربوط به جبر لی حل می شود و نتیجه برای گروه ها معمولاً به راحتی استفاده می شود. به عنوان مثال، گروه های ساده لی معمولاً با دسته اول جبر های لی مربوطه طبقه بندی می شوند. همچنین می توانیم از یک ساختار جبر لی در T_e استفاده کنیم تا از بازه های بردار ثابت راست به جای بازه های بردار ثابت چپ استفاده کنیم. این منجر به همان جبر لی می شود، زیرا نگشات معکوس روی G می تواند برای شناسایی بازه های بردار ثابت سمت چپ با استفاده از بازه هی بردار سمت راست بکار روند و در فضای مماسی T_e بعنوان 1- عمل کنند. ساحتار جبر لی بر T_e را به شکل زیر نیز میتوان نشان داد: عملیات جابجاگر (x,y)=〖xyx〗^(-1) y^(-1) بر روی G*G، (e,e) را به e می فرستد، تا مشتق آن یک عملیات دوخطی را بر T_eG اعمال کند. این عملیات دوسویه در واقع نگاشت صفر است، اما مشتق دوم، تحت شناسایی مناسب فضای تانژانت (مماسی) ، عملیاتی را به دست می‌دهد که قاعده کلی یک براکت لی را ارضا می‌کند، و برابر است با دو برابر آنچه که از میان میدان ‌های بردار چپ تعریف می‌شود .

همومورفی(هم ریختی) و ایزومورفی

اگر G و H گروه های لی باشند، پس یک هم ریختی گروه لی f: G → H یک همریختی هموار است. در مورد گروههای پیچیده لی، چنین هم ریختی ای لازم است که نگاشت هولومورفیک باشد. با این حال، این الزامات کمی دقیق هستند: هر یک از هم ریخت پیوسته بین گروه های واقعی لی ، تحلیل (واقعی) هستند. [10] ترکیبی از دو هومومورفی لی نیز همچنان یک هومورف است و همه گروه های لی، همراه با این هومومورف ها یک دسته را تشکیل می دهند. علاوه بر این، هر هومومورف گروهی لی باعث ایجاد هومومورفی بین جبر های لی مربوطه می شود. اگر فرض کنیم φ:G→H یک گروه لی هومومورف و φ_* مشتق آن در نقطه مشخصه آن باشد. اگر ما جبرهای لی G و H را به همراه فضایای مماسی شان در نقطه ی مشخصه تعریف کرده و φ_* یک نگاشت بین جبرهای متناظر لی باشد:


نظریه های پایه1.png

می توان نشان داد φ_* یک هومومورف جبر لی است (به این معنی که این یک نگاشت خطی بوده و براکت لی را حفظ میکند.) در زبان تئوری دسته بندی، پس از آن یک عامل همگرا از دسته ی گروه های لی به دسته جبر های لی ارسال می کنیم تا یک گروه لی را به جبر لی و یک هومومورف گروه لی را به مشتقاتش در نقطه ی مشخصه داشته باشیم. دو گروه لی ایزومورف نامیده می شوند، اگر یه هومومورفی دو طرفه بین آنها با معکوس شان نیز یک هومومورفی گروه لی باشد. و بعبارتی دیگر دیفئومورف است، که خود یک گروه هومومورف خواهد بود.


ایزومورف های گروه لی و جبر لی

گروه‌های لی ایزومورفی لزوما ً جبر های لی یک شکل دارند، بنابراین در این صورت منطقی است که بپرسیم چگونه گروه‌های ایزومورف گروه های لی به ایزومورف های جبر های لی ارتباط می یابند. اولین نتیجه در این جهت ، قضیه سوم لی است، که بیان می کند که هر جبر با ابعاد محدود واقعی یک جبر لی از برخی گروه های (خطی) لی است. یکی از راه های اثبات قضیه سوم لی استفاده از قضیه آدو است که می گوید هر جبر واقعی محدود لی واقعی یک جبر ماتریس لی است. در ضمن، برای هر جبر ماتریس ابعاد محدود، یک گروه خطی (گروه ماتریس لی) وجود دارد که این جبر به عنوان جبر لی آن است.

از طرف دیگر ، گروه های لی با جبر های لی ایزومورفی نیازی به ایزومورف ندارند. علاوه بر این ، این نتیجه حتی اگر فرض کنیم گروه ها به هم وصل هستند نیز صادق است. به بیان دیگر ، ساختار جهانی یک گروه لی با توجه به جبر لی مشخص نمی شود. به عنوان مثال، اگر Z یک زیر گروه مجزا از مرکز G باشد، پس G و G / Z جبر لی یکسان دارند (برای مثال به جدول گروه های لی مراجعه کنید). نمونه ای از اهمیت در فیزیک گروه های SU(2) و SO(3) هستند. این دو گروه دارای جبر های ایزومورفی لی هستند، اما خود این گروه ها ایزومورفیک نیستند، زیرا SU(2) به راحتی متصل است اما SO(3) نیست.

از طرف دیگ ، اگر ما نیاز داشته باشیم که گروه لی به سادگی متصل شود، ساختار جهانی آن توسط جبر لی اش تعیین می شود: دو گروه لی متصل شده با جبر های لی ایزومورفیک، ایزومورفیک هستند. (برای اطلاعات بیشتر در مورد گروههای لی که به هم وصل شده اند به بخش زیر مراجعه کنید.) با توجه به قضیه سوم لی، می توانیم بگوییم که یک تناظر یک به یک بین گروه های ایزومورفیسم جبر لی واقعی با ابعاد بی نهایت و گروه های لی متصل شده از دسته ی ایزومورف ها وجود دارد.

گروه های لی به سادگی متصل شده


یک گروه لی به سادگی متصل ست اگر هر حلقه در G بتواند بصورت پیوسته تا نقطه ی G کوچیک شده و آب برود. این مفهوم به دلیل نتیجه زیر که دارای پیوند ساده به عنوان یک فرضیه است مهم است:

تئوری: فرض کنید G و H گروه های لی با جبر های لی g و h بوده و f:g→h یک هومومورف جبر لی می باشد. اگر G متصل باشد، پس یک هومومورفیسم گروه لی منحصر به فرد φ:G→H وجود دارد بطوری که φ_*=f که در آن φ_* یک دیفرانسیل از φ در نقطه ی مشخصه است. قضیه سوم لی می گوید که هر جبر لی واقعی با ابعاد محدود، یک جبر ای از یک گروه لی است. از قضیه سوم لی و نتیجه قبلی نتیجه می گیرد که هر جبر واقعی محدود لی جبر لی از یک گروه لی منحصر به فرد متصل است.

نمونه ای از یک گروه متصل، گروه ویژه SU(2) است که به عنوان منیفولد، 3-کره (3-sphere) است. از طرف دیگر، گروه چرخش SO(3) به سادگی متصل نشده است. (به توپولوژی SO(3) مراجعه کنید.) عدم اتصال SO(3) به سادگی با تمایز بین چرخش عدد صحیح و چرخش نیمه عدد صحیح در مکانیک کوانتومی مرتبط است. نمونه های دیگر از گروه های لی به سادگی متصل شامل گروه ویژه SU (n) ، گروه چرخش (پوشش مضاعف از گروه چرخش) چرخش (n) برای n≥3 ، و گروه فشرده ساده Sp (n) است.

روش ها برای تعیین اینکه آیا یک گروه لی به سادگی متصل است یا نه، در مقاله درباره گروه های اساسی گروه های لی صحبت شده است.


نگاشت نمایی


نگاشت نمایی از جبر لی M(n,C) از گروه خطی عمومی GL(n,C) به GL(n,C) به صورت ماتریس نمایی تعریف شده است، که توسط سری توان معمول داده شده است:

مفاهیم پایه2.png

برای ماتریس X است. اگر G یک زیر مجموعه بسته از GL(n,C) باشد، سپس نگاشت نمایی جبر لی G را به G می برد. بنابراین، ما یک نگاشت نمایی برای همه گروه های ماتریسی داریم. هر عنصر از G که به اندازه کافی به نقطه مشخصه نزدیک است نمایی از یک ماتریس در جبر لی است.

تعریف بالا کاربردی آسان دارد، اما برای گروه های لی که گروه ماتریسی نیستند تعریف نشده است و مشخص نیست که نگاشت نمایی از یک گروه لی به عنوان یک گروه ماتریسی، به ارائه ی آن بستگی ندارد. ما می توانیم هر دو مشکل را با استفاده از تعریف انتزاعی تری از نگاشت نمایی که برای همه گروه های لی کار می کن ، به شرح زیر حل کنیم: برای هر بردار X در جبر لی g از G (یعنی فضای مماس G در نقطه مشخصه) ، ثابت می شود که یک زیر گروه یک پارامتری منحصر به فرد c:R→G وجود دارد به گونه ای که c^' (0)=X. اینکه میگوییم c یک زیر گروه یک پارامتری است به این معنی است که c یک نگاشت هموار درون G است و اینکه

مفاهیم پایه3.png

برای همه s ها و t ها. عملیات در سمت راست، ضرب گروه است. شباهت رسمی این فرمول با عملیاتی که برای تابع نمایی معتبر است، تعریف را توجیه می کند.


مفاهیم پایه4.png

به این نگاشت، نگاشت نمایی گفته می شود و جبر لی g را به گروه لی G نگاشت می کند. این نگاشت نمایی یک دیفئومورفیسم بین یک همسایگی 0 در g و یک همسایگی از e در G را ارائه میکند. این نگاشت نمایی یک تعمیم از توابع نمایی برای اعداد واقعی است (زیرا R جبر لی از گروه لی اعداد واقعی مثبت با عملگر ضرب است) ، برای اعداد موهومی (زیرا C جبر لی از گروه لی از اعداد موهومی غیر صفر با ضرب است.) و برای ماتریس ها (زیرا M(n,R) با جابجاگر منظم، جبر لی از گروه لی GL(n,R) از همه ماتریس های برگشت پذیر است). از آنجا که نگاشت نمایی در بعضی از همسایگی های N از e وجود دارد، از این رو معمول است که عناصر تولید کننده گروه لی را تولیدکننده های بینهایت از گروه G بنامیم. این زیر گروه G تولید شده بوسیله ی N عنصر مشخصه ی G است. نگاشت نمایی و جبر لی مشخص می کنند که ساختار گروه محلی هر گروه لی متصل، به دلیل فرمول Baker Campbell-Hausdorff: یک همسایگی U از عناصر صفر g وجود دارد مانند X,Y∈U:

مفاهیم پایه 5.png

که در آن اصطلاحات حذف شده شناخته شده اند و شامل براکت های لی چهار یا چند عنصر هستند. در صورتی که X و Y جابجا شوند، این فرمول به شکل قانون آشنای نمایی exp(X)exp(Y)=exp(X+Y) تبدیل می شود. نگاشت نمایی هومومورفی های گروه لی را بهم مرتبط می کند. یعنی اگر φ:G→H هومومورفیزم گروه لی و φ_*:g→h نگاشت کاسته شده بر جبر های لی متناظر باشد پس برای همه ی x∈g داریم:

مفاهیم پایه 6.png

به بیانی دیگر، دیاگرام زیر:

مفاهیم7.png

(به طور خلاصه ، نمایی یک تبدیل طبیعی از تابع لی به نقطه مشخصه عامل در دسته گروه های لی است.) نگاشت نمایی از جبر لی به گروه لی همیشه بر روی آن قرار نمی گیرد، حتی اگر این گروه به هم متصل باشد (اگرچه برای گروه های متصل که کاملاً فشرده بوده و یا تهی هستند، روی گروه لی نگاشت صورت می گیرد). به عنوان مثال ، نگاشت نمایی از SL(2,R) صحیح نیست. همچنین، نگاشت نمایی برای گروه های لی با ابعاد بی نهایت که بر روی فضای C^∞ فرچت (Fréchet) مدل شده اند نه صحیح است و نه یک به یک است، حتی برای همسایگی کوچک دلخواه از صفر به همسایگی متناظر آن در




زیرگروه لی

یک زیر گروه لی H از یک گروه لی G یک گروه لی است که زیر مجموعه ای از آن بوده و به این صورت است که نگاشت شمول آن از H به G یک هومومورفیسم گروهی و جادهنده است. براساس تئوری Cartan ، یک زیر گروه بسته از G یک ساختار هموار داشته که آن را به یک زیرگروه لی آماده از G تبدیل می کند. نمونه هایی از زیر گروه های غیر بسته فراوان هستند. به عنوان مثال، فرض کنید G یک چنبره با ابعاد 2 یا بیشتر بوده و H یک زیر گروه یک پارامتری با یک شیب غیرمنطقی باشد، یعنی آن باشد که حول G می پیچد. پس یک هومومورفیسم گروه لی φ:R→G با im(φ)=H وجود دارد. بسته شدن H یک زیر-چنبره در G خواهد بود. نگاشت نمایی یک تناظر یک به یک بین زیر گروههای لی متصل از یک گروه لی G و زیر-جبر از جبر لی G به ما می دهد. به طور معمول ، زیر گروه متناظر با یک زیر-جبر یک زیر گروه بسته نیست. هیچ معیاری صرفاً بر اساس ساختار آن تعیین نشده است که زیر-جبر ها با زیر گروه های بسته مطابقت داشته باشند.

بازنمایی[ویرایش]

یکی از جنبه های مهم مطالعه گروه های لی ، بازنمایی آنهاست، یعنی نحوه عملکرد (خطی) در فضاهای برداری. در فیزیک، گروه های لی اغلب تقارن های یک سیستم فیزیکی را رمزگذاری می کنند. روشی که فرد از این تقارن برای کمک به تجزیه و تحلیل سیستم استفاده می کند، اغلب از طریق تئوری بازنمایی است. به عنوان مثال، معادله شرودینگر مستقل از زمان را در مکانیک کوانتومی در نظر بگیرید، H ̂Ψ=EΨ. فرض کنید سیستم مورد نظر، گروه چرخش SO(3) را به عنوان یک تقارن دارد، بدین معنی که اپراتور همیلتونین H ̂ با عملکرد SO(3) با تابع موج Ψ ارتباط برقرار می کند. (یک نمونه مهم از چنین سیستمی اتم هیدروژن است.) این فرض لزوماً به معنای این نیست که حل های Ψ توابع غیرقابل چرخش هستند. در عوض، به این معنی است که فضای راه حل های H ̂Ψ=EΨ تحت چرخش ثابت نیست (برای هر مقدار ثابت E). بنابراین این فضا نمایانگر SO(3) است. این بازنمایی ها طبقه بندی شده اند و طبقه بندی منجر به ساده سازی اساسی مسئله می شود، در واقع یک معادله دیفرانسیل جزئی سه بعدی به یک معادله دیفرانسیل معمولی یک بعدی تبدیل می شود.


مورد مربوط به گروه لی فشرده و متصل K (از جمله مورد ذکر شده SO(3)) به ویژه منعطف است. [19] در این حالت، هر بازنمایی محدود K به عنوان یک مجموعه مستقیم از بازنمایی های غیرقابل تقلیل تجزیه می شود. بازنمایی های غیرقابل برگشت، به نوبه خود، توسط هرمان ویل طبقه بندی شدند. طبقه بندی از نظر "بالاترین وزن" بازنمایی است. طبقه بندی بسیار با طبقه بندی بازنمایی از یک جبر لی نیمه ساده مرتبط است.


همچنین می توان بازنمایی های واحد (به طور کلی بی نهایت ابعادی) یک گروه دلخواه لی (لزوماً فشرده) را مطالعه کرد. به عنوان مثال، می توان توضیحی صریح و ساده نسبت به بازنمایی گروه SL(2,R) و بازنمایی های گروه Poincaré ارائه داد.

تاریخ[ویرایش]

براساس معتبرترین منبع تاریخ اولیه گروه های لی (هاوکینز ، ص 1) ، خود سوفوس لی زمستان سالهای 1873- 1874 را به عنوان تاریخ تولد تئوری گروههای مداوم خود در نظر گرفت. اما هاوکینز نشان می دهد که این "فعالیت تحقیقاتی غریبانه لی در طی دوره چهار ساله از پاییز 1869 تا پاییز 1873" بود که منجر به ایجاد نظریه شد (همان). برخی از ایده های اولیه لی با همکاری نزدیک با فلیکس کلاین توسعه یافت. لی هر روز از اکتبر 1869 تا 1872 با کلین ملاقات می کرد: در برلین از پایان اکتبر 1869 تا پایان فوریه 1870 و در پاریس ، گوتینگن و ارلانگن در دو سال بعد (همان ، ص 2). لی اظهار داشت که کلیه نتایج اصلی تا سال 1884 بدست آمده است. اما در دهه 1870 همه مقالات وی (به جز همان یادداشت اول) در مجلات نروژی منتشر شد که این امر مانع به رسمیت شناختن کار در تمام نقاط اروپا شد (همان ، ص 76 ) در سال 1884 یک ریاضیدان جوان آلمانی ، فردریش انگل شروع به همکاری با لی در یک رساله منظم برای انتشار تئوری خود در مورد گروههای پیوسته کردند. این تلاش منجر به انتشار سه جلد Theorie der Transformationsgruppen شد که در سال های 1888 ، 1890 و 1893 منتشر شدند.


اصطلاح groups de لی برای اولین بار در فرانسوی در سال 1893 در پایان نامه دانش آموز لی، آرتور ترس ، ظاهر شد. [20] عقاید لی از بقیه ریاضیات جدا نبود. در حقیقت ، علاقه او به هندسه معادلات دیفرانسیل ابتدا توسط کارل گوستاو جاکوبی، بر روی تئوری معادلات دیفرانسیل جزئی از مرتبه اول و معادلات مکانیک کلاسیک ایجاد شده بود. بخش عمده ای از آثار ژاکوبی پس از مرگ در دهه 1860 منتشر شد و باعث ایجاد علاقه زیادی در فرانسه و آلمان شد (هاوکینز ، ص 43). ایده ی لی، ایجاد نظریه تقارن معادلات دیفرانسیل بود که آنچه را که آواریست گالوئیس برای معادلات جبری انجام داده بود برای آنها به دست آورد: یعنی طبقه بندی آنها از نظر تئوری گروه. لی و ریاضیدانان دیگر نشان دادند که مهمترین معادلات برای کارکردهای ویژه و چند جمله ای های متعامد از تقارن های نظری گروه ناشی می شوند. در کار اولیه لی، این ایده برای ساختن تئوری گروه های مداوم، برای تکمیل نظریه گروه های گسسته ای که در تئوری اشکال مدولار توسعه یافته بودند، در دستان فلیکس کلاین و هنری پینکاره بود. کاربرد اولیه ای که لی در ذهن داشت تئوری معادلات دیفرانسیل بود. براساس الگوی نظریه گالوسی و معادلات چند جمله ای، مفهوم انگیزه بخش نظریه ای بود که با مطالعه تقارن، می تواند کل منطقه معادلات دیفرانسیل عادی را متحد کند. با این حال ، این امید که تئوری لی همه زمینه معادلات دیفرانسیل عادی را متحد کند، برآورده نشد. روش های تقارن برای ODE ها همچنان مورد مطالعه قرار می گیرند، اما بر این موضوع غالب نیستند. یک تئوری گالوی دیفرانسیل وجود دارد، اما توسط دیگران مانند Picard و Vessiot ایجاد شده اند و نظریه ای از چهارگوش ها، انتگرال های نامشخص مورد نیاز برای بیان راه حل ها را ارائه می دهد.

انگیزه های اضافی برای در نظر گرفتن گروه های مداوم از ایده های برنارد ریمان ، در مبانی هندسه و توسعه بیشتر آنها در دست کلاین حاصل شد. بنابراین سه موضوع اصلی در ریاضیات قرن نوزدهم توسط لی در ایجاد نظریه جدید او ترکیب شده است: ایده تقارن ، همانطور که گالویز از طریق مفهوم جبری یک گروه مثال زد. نظریه هندسی و راه حل های صریح معادلات دیفرانسیل مکانیک ، توسط پواسون و ژاکوبی تهیه شده است. و درک جدید هندسه که در آثار Plücker ، Musbius ، Grassmann و دیگران پدید آمده است ، و در دید انقلابی ریمان از موضوع به اوج خود رسید. اگرچه امروزه سوفوس لی به طور صحیح به عنوان خالق نظریه گروههای مداوم شناخته می شود ، اما قدم بزرگی در توسعه نظریه ساختار آنها ، که قرار بود تأثیر عمیقی بر توسعه بعدی ریاضیات داشته باشد ، توسط ویلهلم کیلینگ برداشته شد که در سال 1888 اولین مقاله را در یک سری با عنوان Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (ترکیب گروههای تبدیل مداوم محدود) منتشر کرد (هاوکینز ، ص 100). کار کیلینگ که بعداً توسط الی کارتان تصحیح و تعمیم یافته شد ، منجر به طبقه بندی نیمکره های لیین semgeimple ، نظریه کارتان درباره فضاهای متقارن و توضیحات هرمان ویل از بازنمایی گروههای فشرده و نیمه دراز با استفاده از بالاترین وزن شد.


در سال 1900 دیوید هیلبرت نظریه پردازان لی را با پنجمین مسئله خود که در کنگره بین المللی ریاضیدانان در پاریس ارائه شده بود به چالش کشید. ویل دوره ابتدایی توسعه تئوری گروه های لی را به مرحله اجرا رساند ، زیرا نه تنها وی بازنمودهای غیرقابل برگشت گروههای شبه-ساده لی را طبقه بندی کرد و نظریه گروه ها را با مکانیک کوانتومی متصل کرد، بلکه وی تئوری لی را نیز در پایه ی محکم تر قرار داد. به طور واضح تمایز بین گروههای نامتناهی لی (به عنوان مثال ، جبرهای لی) و گروههای لی را به درستی بیان کرد و تحقیقات مربوط به توپولوژی گروههای لی را آغاز کرد. تئوری گروه های لی به صورت سیستماتیک در یک مونوگرافی توسط کلود چواللی به زبان ریاضی مدرن دوباره به کار رفت.

مفهوم یک گروه لی، و امکانات کلاس بندی شدن[ویرایش]

ممکن است به گروه های لی گفته شود که گروه های متفاوتی از تقارن دارند. نمونه هایی از تقارن ها شامل چرخش حول محور است. آنچه باید درک شود ، ماهیت تحولات "کوچک" است ، به عنوان مثال ، چرخش ها از طریق زوایای ریز و درشت ، که دگرگونی های اطراف را پیوند می زند. جسم ریاضی که این ساختار را تصرف می کند ، یک جبر لی نامیده می شود (خود لی آنها را "گروه های بینهایت" می نامد). این را می توان تعریف کرد زیرا گروه های لی منیفولد های هموار هستند، بنابراین در هر نقطه دارای فضاهای مماس هستند.

جبر لی از هر گروه لی فشرده را می توان به عنوان یک جمع مستقیم از یک جبر لی abelian و تعدادی از موارد ساده تجزیه کرد. ساختار یک جبر لی abelian لی از لحاظ ریاضیاتی غیر جذاب است (از آنجا که بطور یکسان صفر است). علاقه به جمع های ساده است. از این رو این سؤال پیش می آید: جبر های لی ساده گروه های فشرده کدامند؟ به نظر می رسد که آنها بیشتر در چهار خانواده بی نهایت "جبر های کلاسیک لی" D_n و C_n،B_n،A_n قرار می گیرند که از لحاظ تقارن فضای اقلیدسی توضیحات ساده ای دارند. اما همچنان فقط 5 "جبر استثنایی لی" نیز وجود دارد که در هیچ یک از این خانواده ها قرار نمی گیرند. E_8 بزرگترین این موارد است. گروه های لی با توجه به خاصیت جبری (ساده ، شبه ساده، قابل حل ، تهی ، آبلی) ، اتصال آنها (متصل یا به راحتی متصل) و فشردگی آنها طبقه بندی می شوند. اولین نتیجه مهم تجزیه لووی است که می گوید هر گروه لی که به راحتی متصل است محصول نیمه تمام یک زیر گروه عادی قابل حل و یک زیر گروه نیمه کاره است. -گروه های لی فشرده متصل همه شناخته شده است: آنها به تعداد معیارهای محدود محصولی از کپی های گروه دایره S^1 و گروه های لی فشرده ساده (که مربوط به نمودارهای Dynkin متصل هستند) هستند.

هر گروه لی قابل حل به سادگی متصل به یک زیر گروه بسته از گروه ماتریس های مثلثی فوقانی معکوس از برخی از رتبه ها ایزومورفیک است، و هر گونه بازنمایی با بعد محدود غیرقابل بازگشت از چنین گروهی، 1 بعدی است. گروه های قابل حل برای طبقه بندی بیش از حد پیچیده هستند، مگر در چند بعد کوچک. -هر گروه لی تهی به سادگی متصل شده به یک زیر گروه بسته از گروه ماتریس های مثلثی فوقانی قابل برگشت با 1 در قطر برخی از رتبه ها ازومورفیک است و هر بازنمایی غیرقابل برگشت محدود از چنین گروهی 1 بعدی است. مانند گروه های قابل حل ، گروه های تهی در ابعاد کوچک برای طبقه بندی بیش از حد درهم برهم هستند. -گروه های لی ساده گاهی به عنوان گروه هایی تعریف می شوند که به عنوان گروه های انتزاعی ساده هستند و بعضی اوقات برای گروه های لی با یک جبر لی ساده تعریف می شوند. به عنوان مثال SL(2,R) طبق تعریف دوم ساده است اما مطابق با حالت اول نیست. همه آنها طبقه بندی شده اند (برای هر تعریف).

گروه های شبه ساده لی، گروه های لی هستند که جبر لی محصول شان جبر های لی ساده است. [22] آنها پسوند اصلی محصولات گروههای لی ساده هستند.مؤلفه مشخصه هر گروه لی یک زیر گروه عادی باز است و گروه خارج قسمت یک گروه گسسته است. پوشش جهانی هر گروه لی متصل ، یک گروه لی است که به سادگی متصل است و برعکس، هر گروه لی متصل به یک گروه لی است که به طور مستقیم بهم وصل شده است. هر گروه G لی می تواند به صورت متعارف به گروههای گسسته ، ساده و آبلی تجزیه شود. بنویسید:

G_Con برای عضو متصل مشخصه 
G_Sol برای بزرگترین زیرگروه قابل حل متصل نرمال
G_nil برای بزرگتری زیرگروه تهی متصل نرمال

که طبقه بندی زیر از زیرگروه ها را به ما می دهد:

پس:

G⁄G_con  گسسته است
G_con⁄G_sol  یک گسترش مرکزی از یک محصول ساده متصل شده ی گروه های لی است

G_sol⁄G_nil آبلی است. یک لی گروه آبلی متصل نسبت به محصول R و گروه حلقه S^1 ایزومورفیک است.

G_nil⁄1تهی است. و از این رو سری های مرکزی صعودی آن همگی خارج قسمت های آبلی دارد.

این ها می توانند برای کاهش برخی از مشکلات در مورد گروه های لی (مانند پیدا کردن بازنمایی های واحدی آنها) یا برای مشکلات مشابه برای گروه های ساده متصل و زیر گروه های تهیt و قابل حل با ابعاد کوچکتر مورد استفاده قرار گیرند. -گروه دیفورمورفیسم یک گروه لی بطور متغیر بر روی گروه لی عمل می کند -هر گروه لی قابل توازی است و از این رو یک منیفولد جهت دار (یک بسته ایزومورفیسم نرم افزاری بین مماس بسته و محصول خودش با فضای مماس در نقطه مشخصه وجود دارد)

گروه های لی با بی نهایت بعد[ویرایش]

گروه های لی اغلب به صورت متناهی تعریف می شوند ، اما گروه های زیادی وجود دارند که به گروه های لی شباهت دارند ، بجز اینکه نامتناهی هستند. ساده ترین روش برای تعریف گروه های لی با بی نهایت بعد، الگوبرداری از آنها به صورت محلی در فضاهای Banach (بر خلاف فضای اقلیدسی در مورد موارد با بعد متناهی) است و در این حالت، بیشتر نظریه های اساسی شبیه به طرح های گروه های لی با ابعاد محدود است. با این حال، این برای بسیاری از برنامه های کاربردی ناکافی است، زیرا بسیاری از نمونه های طبیعی از گروه های لی بی نهایت منیفولدهای Banach نیستند. در عوض، باید گروه لی هایی را مدل شده بر روی فضاهای برداری توپولوژیکی جزئی محدب و کلی تر تعریف کنیم. در این حالت، رابطه بین جبر لی و گروه لی بسیار ظریف می شود و چندین نتیجه در مورد گروه های لی با ابعاد محدود دیگر صادق نیستند. اصطلاحات در منابع کاملاً یکنواخت نیستند که دقیقاً کدام یک از خصوصیات گروههای نامتناهی برای گروه پیشوند لی در گروه لی صحیح هستند. در مورد جبر لی ، چیزها ساده تر هستند زیرا معیارهای واجد شرایط برای پیشوند لی در جبر لی صرفاً جبری هستند. به عنوان مثال ، یک جبر لی ابعادی نامتناهی ممکن است یک گروه مربوط به لی باشد یا نباشد. یعنی ممکن است یک گروه مطابق با جبر لی باشد ، اما ممکن است خیلی خوب نباشد که یک گروه لی نامیده شود، یا ارتباط بین این گروه و جبر لی ممکن است به اندازه کافی خوب نباشد (مثلاً عدم موفقیت نگاشت نمایی برای قرار گرفتن در محله ای از نقطه مشخصه). این "به اندازه کافی خوب بودن" است که جهانی تعریف نشده است. برخی از نمونه هایی که مورد مطالعه قرار گرفته اند عبارتند از:


  • گروه دیفئومورفیسم منیفولد. گروه دیفئومورفیسم های حلقه بسیار شناخته شده است. جبر لی آن (کم و بیش) جبر Witt است، که بسط مرکزی آن جبر Virasoro،. جبر تقارن نظریه میدان همشکل دو بعدی است. گروه های دیفورمورفیسم منیفولدهای فشرده از ابعاد بزرگتر، گروههای منظم لی Fréchet هستند. اطلاعات کمی در مورد ساختار آنها وجود دارد.
  • گروه دیفئومورفیزم از زمان فضایی گاهی در تلاش برای کمیت سازی گرانش ظاهر می شود.
  • گروه نگاشت های های هموار از یک منیفولد به یک گروه لی با ابعاد محدود نمونه ای از یک گروه آزمایشی است (با عملکرد ضرب نقطه ای) و در تئوری میدان کوانتومی و نظریه Donaldson استفاده می شود. اگر منیفولد دایره ای باشد به این گروه ها حلقه گفته می شود و دارای پسوندهای مرکزی است که جبرهای لی (کم و بیش) جبرهای Kac-Moody هستند.
  • آنالوژی های نامتناهی کلی از گروه های خطی عمومی ، گروه های متعامد و غیره وجود دارد. یک جنبه مهم این است که اینها ممکن است خصوصیات توپولوژیکی ساده تری داشته باشند: برای مثال به قضیه کوپر مراجعه کنید. به عنوان مثال ، در نظریه M ، یک تئوری آزمایشی 10 بعدی SU(N)، وقتی N بی نهایت می شود، به یک تئوری 11 بعدی تبدیل می شود.


جستارهای وابسته[ویرایش]

توپولوژی

جبر لی

خطی کردن یک گروه لی

منابع[ویرایش]

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group