فضای متری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات فضای متری یا فضای متریک به مجموعه‌ای گفته می‌شود که مفهومی از نوع فاصله (distance) (موسوم به متری) مابین اعضاء آن تعریف شده باشد.

انگیزه‌ها[ویرایش]

از جملهٔ کارآترین ابزار و شیوه‌های گسترش و پیشرفت در ریاضیات (و در بسیاری از میدان‌ها و زمینه‌های دیگر حیات انسانی) تجرید، و از آن هم مهم‌تر، تعمیم است.

فضای متری یکی از مفاهیم مهم توپولوژی و آنالیز ریاضی است.

زوج مرتب (X,d) \, را که در آن X مجموعه‌ای از نقاط و d یک تابع حقیقی d\colon \mathbb{X} \times \mathbb{X} \to \mathbb{R} می‌باشد یک فضای متریک گویند هرگاه:

۱. d(p,q)  \geq 0 (فاصله هیچ گاه منفی نمی‌تواند باشد)
۲. d(p,q) = 0 \iff p=q (فاصله صفر است اگر و تنها اگر هر دو شیء یکی باشند)
۳. d(q,p) = d(p,q) \, (بدون بستگی داشتن به مقادیر p،q همواره دارای خاصیت تقارنی است)
۴. d(p,q) + d(q,r) \geq d(p,r) (نامساوی مثلث یا قضیهٔ حمار)


این خاصیت‌ها به طور شهودی مفهوم فاصله را بیان می‌کند. مثلاً فاصله بین دو نقطه همیشه مقداری مثبت است و یا فاصله بین دو نقطه p و q برابر با فاصله q تا p است. همچنین بر اساس نامساوی مثلث، مسیر مستقیم p تا q کوتاهتر از مسیری است که از p به r و سپس از r به q طی می‌کنیم.

توجه کنید که هر فضای متری یک فضای توپولوژیک نیز هست.

توپولوژی یک فضای متری[ویرایش]

فرض کنیم (X,d) \, یک فضای متری باشد. یک زیر مجموعهٔ V \subset X را باز گوییم هرگاه به ازای هر نقطه x \in V عددی مانند \varepsilon > 0 وجود داشته باشد به گونه‌ای که گوی به مرکز x و شعاع \varepsilon، یعنی : K_{\varepsilon}(X) := \{y \in X\; | \; d(x,y) < \varepsilon \} نیز مشمول V باشد. مجموعهٔ توپولوژیک d متشکل از همهٔ مجموعه‌های باز X را توپولوژی فضای متری (X,d) \, می‌نامند.

مثال[ویرایش]

روی یک فضا مترهای مختلفی می‌توان تعریف کرد مثلاً \mathbb{R} (مجموعه اعداد حقیقی) با تابع فاصله d(x,y)=|x-y| \, (به طوریکه x و y عضو X) یک فضای متری ست. به طور کلی فضای اقلیدسی \mathbb{R}^n با متر d(x,y)=\Vert x-y \Vert فضای متری ست. این متر را متر معمولی روی \mathbb{R}^n می‌نامیم.
متر گسسته که در آن d(x,y) = 0 اگر x=y و در غیر این صورت d(x,y) = 1 تعریف می‌شود مثال ساده اما بسیار مهمی است.این متر برروی همه مجموعه‌های ناتهی می‌تواند تعریف شود.این مفهوم به ویژه نشان می‌دهد که برای هر مجموعه ناتهی یک فضای متریک مخصوص و مربوط به آن وجود دارد. با اعمال این متر روی مجموعه‌ها هر عضو مجموعه مانند یک گوی باز می‌ماند بنابراین هر زیر مجموعه از آن هم باز و هم بسته خواهد بود و این فضا دارای توپولوژی گسسته می‌باشد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • کتاب اصول آنالیز ریاضی، نوشته والتر رودین
  • کتاب توپولوژی، کلاؤس ینیش، دکتر ارسلان شادمان، مرکز نشر دانشگاهی، ISBN ۹۶۴-۰۱-۰۸۳۸-۳