گروه آبلی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

گروه آبلی یا گروه جابجایی‌پذیر یا گروه جابجایی، در ریاضیات، به مجموعهای مانند G می‌گویند که دارای عملگری مانند * باشد و این عملگر در مجموعه G دارای خاصیت جابجایی باشد، یعنی برای هر a و b در G داشته باشیم: a * b = b * a در این صورت می‌گوییم (*،G) «گروه آبلی» است.

تعریف[ویرایش]

گروه آبلی شامل مجموعه‌ای مانند A و عملگر دوتایی مانند «•» است بگونه‌ای که (A،•) دارای ویژگی‌های زیر باشد:

  • بسته بودن: برای هر a و b در A، حاصل a•b در A باشد.
  • شرکت پذیری: برای هر a،b،c در A داشته باشیم:.a •(b • c)=(a • b) • c
  • وجود عنصر همانی: یک e∈A وجود دارد بطوریکه برای هر a ∈ A، داشته باشیم a • e = e • a = a.
  • وجود عنصر عکس: برای هر a∈A، یک b∈A وجود دارد که a • b = b • a = e.

مثال[ویرایش]

مجموعه‌ی همه‌ی ماتریس های m*n با درآیه‌های حقیقی تحت عمل جمع یک گروه آبلی است. ماتریس‌های مربعی تحت عمل ضربِ ماتریس‌ها روی R یک گروه آبلی است.