گروه آبلی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

گروه آبلی (به انگلیسی: Abelian group) یا گروه جابجایی‌پذیر یا گروه جابجایی، در ریاضیات، گروهی است که نتیجه اعمال عمل گروه به دو عنصر گروه به ترتیبی که این دو عنصر نوشته شده‌اند بستگی ندارد؛ یعنی باید عمل گروه جابه‌جایی‌پذیر باشد. مثلاً اگر جمع را عمل گروه در نظر بگیریم، اعداد صحیح و اعداد حقیقی دو گروه آبلی تشکیل می‌دهند، و مفهوم یک گروه آبلی را می‌توان تعمیمی برای این مثال‌ها دانست. گروه‌های آبلی به افتخار ریاضیدان قرن نوزدهم نیلس هنریک آبل نامگذاری شده‌اند.

مفهوم یک گروه آبلی زیربنای بسیاری از ساختارهای جبری اساسی، مثل میدان، حلقه، فضای برداری، و جبر روی یک میدان است. نظریه گروه‌های آبلی معمولاً ساده‌تر از همتایان غیر-آبلیشان هستند، گروه‌های آبلی متناهی به خوبی بررسی و کاملاً طبقه‌بندی شده‌اند.

گروه آبلی به مجموع‌های مانند G می‌گویند که دارای عملگری مانند * باشد و این عملگر در مجموعه G دارای خاصیت جابجایی باشد، یعنی برای هر a و b در G داشته باشیم: a * b = b * a در این صورت می‌گوییم (*،G) «گروه آبلی» است.

تعریف[ویرایش]

گروه آبلی شامل مجموعه‌ای مانند A و عملگر دوتایی مانند «•» است بگونه‌ای که (A، •) دارای ویژگی‌های زیر باشد:

  • بسته بودن: برای هر a و b در A، حاصل a•b در A باشد.
  • شرکت پذیری: برای هر a,b،c در A داشته باشیم:.a •(b • c)=(a • b) • c
  • جابجایی: برای هر a و b در A، باید a •b =b • a
  • وجود عنصر همانی: یک e∈A وجود دارد بطوریکه برای هر a ∈ A، داشته باشیم a • e = e • a = a.
  • وجود عنصر عکس: برای هر a∈A، یک b∈A وجود دارد که a • b = b • a = e.(e همان عنصر همانی است)

مثال[ویرایش]

مجموعهٔ همهٔ ماتریس‌های m*n با درآیه‌های حقیقی تحت عمل جمع یک گروه آبلی است. ماتریس‌های مربعی تحت عمل ضربِ ماتریس‌ها روی R یک گروه آبلی است.

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Abelian group». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۷ آوریل ۲۰۲۲.