عدد مختلط

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نمایش یک عدد مختلط در صفحه مختلط. در این شکل، ، قسمت حقیقی و ، قسمت موهومی است.

عدد مختلط یا عدد همتافت عددی به شکل است که و اعداد حقیقی‌اند و یکهٔ موهومی با خصوصیت 2 = -1 است. عدد قسمت حقیقی و عدد قسمت موهومی نامیده و نوشته می‌شود:

اعداد حقیقی را می‌توان به عنوان اعداد مختلط با قسمت موهومی صفر در نظر گرفت، یعنی عدد حقیقی معادل است با عدد مختلط .

مجموعهٔ اعداد مختلط را بصورت تعریف می‌کنیم.

تعاریف[ویرایش]

برابری[ویرایش]

دو عدد مختلط برابرند اگر و تنها اگر بخش‌های حقیقی و موهومی آنها دو به دو با یکدیگر برابر باشند. یعنی a + bi = c + di اگر و تنها اگر a = c و b = d. به عبارت دیگر دو عدد مختلط فقط زمانی برابر هستند که نمایش هندسی آن‌ها یک نقطه واحد باشد

نمادگذاری و اعمال جبری[ویرایش]

مجموعه اعداد مختلط معمولاً با نشان داده می‌شود. اعداد مختلط نیز می‌توانند جمع، تفریق، و ضرب شوند با در نظر گرفتن معادلهٔ i 2 = −1

تقسیم اعداد مختلط را نیز می‌توان تعریف کرد (پایین را ببینید). بنابراین مجموعه اعداد مختلط یک میدان تشکیل می‌دهد که، در مقایسه با اعداد حقیقی، به طور جبری بسته‌است.

میدان مختلط[ویرایش]

اعداد مختلط را می‌توان به صورت زوج‌ های مرتب (a, b) از اعداد حقیقی نیز تعریف کرد. با اعمال:

بنابراین اعداد مختلط تشکیل یک میدان می‌دهند، میدان مختلط، که با C نشان داده می‌شود. از آنجایی که عدد مختلط a + bi به طور منحصربه‌فرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده می‌شود، پس اعداد مختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط گفته می‌شود. عدد حقیقی a را با عدد مختلط (a, 0) نشان می‌دهیم و در این حالت میدان اعداد حقیقی R یک زیر میدان از C می‌شود. واحد موهومی i عدد مختلط (0, 1) است. منظور از تقسیم دو عدد مختلط یعنی یافتن عددی است مثل x + iy که در تساوی

a +ib = (c +id). (x +iy)

صدق نماید، پس از محاسبه رابطه بالا داریم

a +ib = (cx -dy)+i(dx +cy)

پس کافی است اعداد x و y را چنان پیدا کنیم که در روابط

dx + cy = b, cx - dy = a صدق کنند. این دستگاه معادلات یک جواب یکتای زیر را دارد:

مگر آنکه c = d = 0 بنابراین البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر در c - id نیز بدست آوریم

نمایش قطبی[ویرایش]

مقدار φ و قدر مطلق r نقطه ای را در نمودار ارگان نشان می دهند ; یا که نمایش قطبی همان نقطه است .

روش دیگر برای نمایش عدد مختلط استفاده از دستگاه مختصات قطبی است ؛ در این روش به جای استفاده از x و y از فاصله نقطه P تا مبدأ و زاویه بردار OP با جهت مثبت محور حقیقی بهره می‌بریم . به این ترتیب قدر مطلق (یا اندازه عدد مختلط z = x + yi) مساوی ست با :

اگر z عدد حقیقی باشد (یعنی اگر y = 0 ) آنگاه r = | x | و در این صورت عدد مختلط برابر شکل حقیقی خود می شود .

بنابر قضیه ی فیثاغورس اندازه عدد مختلط برابر است فاصله نقطه P از مبدأ و برابر است با مربع قدر مطلق عدد مختلط :

که مزدوج عدد مختلط است .

آرگومان z (که با "فاز" هم شناخته می شود ) زاویه ی شعاع OP با جهت مثبت محور حقیقی است و به صورت نوشته می شود.

ضرب و تقسیم در شکل قطبی[ویرایش]

ضرب 2 + i(مثلث آبی) در 3 + i (مثلث قرمز). مثل قرمز دوران می یابد تا در محل راس مثلث آبی قرار گیرد سپس به اندازه 5 یعنی طول وتر مثلث آبی کشیده می شود

به طور معمول روابط ضرب ، تقسیم و توان رسانی به شکل قطبی ساده تر از نمایش دکارتی آن است . دو عدد مختلط z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) و z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2) را در نظر بگیرید ؛ با توجه به روابط مثلثاتی زیر :


می توان نوشت :

به بیان دیگر قدر مطلق ها در هم ضرب و آرگومان ها با هم جمع می شوند .

از آنجا که دو بخش حقیقی و موهومی 5 + 5i با هم برابرند آرگومان برابر ۴۵ درجه یا π/۴ رادیان است . از سوی دیگر مجموع زوایای رئوس منطبق بر مبدا مثلث های قرمز و آبی به ترتیب برابر تانژانت معکوس و است . بنابر این خواهیم داشت :

به همین ترتیب می توان تقسیم را هم به صورت زیر نوشت :


ریشه nام اعداد مختلط[ویرایش]

فرض کنید n یک عدد طبیعی باشد، عدد مختلط Z را ریشهٔ n ام عدد مختلط داده شدهٔ Z0 می‌خوانند، هرگاه

کاربرد[ویرایش]

یکی از مهمترین کاربردهای این اعداد در حل معادلات درجه دوم و سوم است. به عنوان مثال در زمانی که دلتای یک معادله درجه دوم منفی می‌شود :

delta = (-x)^1/2=(i^2*x)^1/2

در مهندسی برق، تبدیل انتگرالی فوریه برای تجزیه‌وتحلیل ولتاژها و جریان‌های الکتریکی به‌کار می‌رود. رفتار مقاومت‌ها، خازنها، و القاگرها می‌تواند؛ با استفاده از این راه و با تصور مقاومت‌هایی که مقدارشان به میزان بسامد وابسته باشد، و امپدانس خوانده می‌شود، یک‌پارچه منظور شود.

صفحه مختلط[ویرایش]

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • لیانگ، شین هان، اعداد مختلط و هندسه، ترجمه محمد بهفروزی، چاپ اول ۱۳۷۶، تهران :مرکز نشر دانشگاهی، شابک :۳-۰۸۷۲-۰۱-۹۶۴
  • لدرمان، والتر، اعداد مختلط، ترجمه علی اکبر مهرورز، چاپ اول ۱۳۶۴، تهران :مرکز نشر دانشگاهی، شابک :ندارد
  • جرج توماس ، راس فینی ، حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه ی تحلیلی ، ترجمه مهدی بهزاد ، سیامک کاظمی ، علی کافی ، چاپ اول ۱۳۷۰ ، تهران : مرکز نشر دانشگاهی ، شابک : ۷-۰۵۹۱-۰۱-۹۶۴-۹۷۸