سری هارمونیک

سری هارمونیک (به انگلیسی: Harmonic Series)‏ نوعی سری ریاضی خاص می‌باشد. سری هارمونیک دنباله‌ای است، که اعضای آن، جمع $n$ عضو اول (مجموعه‌های جزئی) دنبالهٔ هارمونیک هستند.

محاسبه

$n$امین مجموعهٔ جزئی سری هارمونیک، به $n$امین عدد هارمونیک معروف است:

$H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}$

مورد بالایی نوع خاصی از سری هارمونیک ($1/k^a$) است، در اینجا $a=1$ می‌باشد.

مقدار مجموعه‌های جزئی

$\begin{matrix}H_1 &=& 1 \\\\ H_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ H_3 &=& \frac{11}{6} &=& 1{,}833\dots\\\\ H_4 &=& \frac{25}{12} &=& 2{,}083\dots\end{matrix}$

$\begin{matrix}H_5 &=& \frac{137}{60} &=& 2{,}283\dots \\\\ H_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\H_7 &=& \frac{363}{140} &=& 2{,}592\dots \\\\ H_8 &=& \frac{761}{280} &=& 2{,}717\dots\end{matrix}$

منبع

• جورج توماس، راس فینی. حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی ۱ (جلد ۲). مرکز نشر دانشگاهی. ۵۷۳-۵۹۰.