سری هندسی

در ریاضیات، سری هندسی به مجموع (سری) یک تصاعد هندسی گفته می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n \,$

در این سری، a را جمله اول و r را قدر نسبت سری می‌نامند.

برای نمونه مجموع زیر یک سری هندسی با قدر نسبت ۱/۲ است.

$\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots$

ویژگی‌ها

در سری هندسی اگر $r\; <1$ باشد این سری همگرا خواهد بود. در غیر این صورت این سری واگرا است.

مجموع

مجموع یک سری هندسی همگرا ($r <1$) از رابطه زیر به دست می‌آید:

$S_{n} \;=\; \frac{a}{1-r}.$

اثبات

• موقعی که $|r| \;=\ 1$ سری تبدیل می‌شود به:

$a + a + a + a +... .$

مجموع این سری می‌شود:

$S_{n} = (n+1)a$

و

$\lim_{n\to \infty} S_{n} = \lim_{n\to \infty} (n+1)a = \pm \infty$

(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن $a$ دارد).

این واگرائی سری را نشان می‌دهد.

اکنون اگر $r \;=\ -1$ سری تبدیل می‌شود به:

$a - a + a - a +... .$

بنابراین دنباله مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:

$a,0,a,0,a,...$

که واگرا می‌باشد.

• حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری $|r| \;\neq\ 1$.

مجموع این سری می‌شود:

(١) $S_{n} = a+ar+ar^2+...+ar^n$

هر دو طرف معادله را با $r$ ضرب می‌کنیم:

(٢) $rS_{n} = ar+ar^2+...+ar^n+ar^{n+1}$

(٢) را از (١) کم می‌کنیم:

(٣) $S_{n} - rS_{n} = a-ar^{n+1}$

یا:

$(1-r)S_{n} \;=\; a-ar^{n+1}$

از آنجائی که در وضعیت مورد نظر $|r| \;\neq\ 1$، ما می‌توانیم آن را به شکل زیر بنویسیم:

$S_{n} \;=\; \frac{a-ar^{n+1}}{1-r}= \frac{a}{1-r}(1-r^{n+1})$

اگر $r <1$ پس $lim_{n \to \infty} r^{n+1} =0$ و نتیجه می‌گیریم که سری همگرا است.

$\lim_{n\to \infty} S_{n} \;=\; \frac{a}{1-r}.$

مثال

یک سری با قدر نسبت $r = \frac{1}{2}$ را در نظر بگیرید:

$\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots$

از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.

جستارهای وابسته

• سری
• تصاعد هندسی