رشد نمایی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
این نمودار نشان می‌دهد که چگونه رشد نمایی (خط سبزرنگ) از رشد خطی یا توانی پیشی می‌گیرد.

رشد نمایی یک کمیت (یا تابع ریاضی) وقتی رخ می‌دهد که آهنگ رشد آن متناسب باشد با مقدار تابع در هر لحظه. تابعی که رشد نمایی دارد، با آهنگی که پیوسته رو به افزایش است، افزایش می‌یابد. اگر دامنهٔ تابع از نقاط گسسته با فاصله‌های برابر ساخته شده باشد، گاهی به آن رشد هندسی هم می‌گویند (زیرا مقدارهای تابع با هم یک تصاعد هندسی می‌سازند).

در حسابان ثابت می‌شود که رشد نمایی با یک تابع نمایی ساخته می‌شود. به همین دلیل است که به آن رشد نمایی می‌گویند.

مثال‌ها[ویرایش]

  • زیست‌شناسی
    • تعداد میکروارگانیسم‌های یک ظرف آزمایشگاهی به طور نمایی افزایش می‌یابد، تا وقتی که مادهٔ غذایی برای رشد آن‌ها تمام شود. معمولاً نخستین سلول به دو سلول تقسیم می‌شود، سپس با تقسیم آن‌ها چهار سلول پدید می‌آید، سپس ۱۶ سلول و همین طور تا آخر.
    • ویروس‌ها (مانند ویروس آبله) در آغاز گسترش خود به طور نمایی پخش می‌شوند. هر انسان ناقل ویروس می‌تواند چندین انسان دیگر را آلوده کند.
  • فیزیک
  • صنعت رایانه
    • قدرت محاسباتی رایانه‌ها طبق قانون مور افزایش می‌یابد که یک قانون رشد نمایی است.

رابطهٔ ریاضی[ویرایش]

اگر متغیر x به طور نمایی به متغیر t وابسته باشد، آنگاه

x(t)=a \times b^{t/\tau}

که در آن a مقدار x در لحظهٔ آغاز است

x(0)=a\,

و ثابت b ضریب افزایش است، و \tau زمان لازم برای این است که x با ضریب b افزایش یابد:

x(t+\tau)=x(t)\times b

معادله دیفرانسیل[ویرایش]

تابع x(t)=x_0 e^{kt} مقدار اولیه‌ای برابر x_0 دارد و در معادله دیفرانسیل زیر صدق می‌کند:

\frac{dx}{dt}=kx

منابع[ویرایش]

  • Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0