عدد e

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
e یک عدد حقیقی مانند a است، به طوری که مقدار مشتق تابع f(x) = a^x (منحنی آبی) در نقطهٔ x = 0 برابر 1 شود. برای مقایسه، در شکل تابع 2^x (منحنی نقطه چین) و تابع 4^x (منحنی خط چین) مشاهده می‌شود. خط قرمز، خطی با شیب یک است که از نقطهٔ (0,1) می‌گذرد.

e یک عدد حقیقی یکتاست، به طوری که مقدار مشتق تابع f(x) = e^x در نقطهٔ x = 0 برابر 1 شود.[۱] از این طریق تابع e^x به عنوان تابع نمایی و تابع معکوس آن، به عنوان تابع لگاریتم طبیعی یا لگاریتم در مبنای e معرفی می‌شود. از طرفی می‌توان e را به عنوان مبنای تابع لگاریتم طبیعی (با استفاده از انتگرال) به عنوان حد یک دنباله ریاضی و یا به عنوان حد یک سری ریاضی تعریف کرد.

عدد e، به افتخار ریاضی‌دان سوئیسی، لئونارد اویلر، عدد اویلر نامیده می‌شود. همچنین گاهی به افتخار جان نپر از آن به اسم ثابت نپر یاد می‌شود، با این حال نماد e به افتخار اویلر انتخاب شده‌است.

در ریاضیات عدد e در کنار عدد ۰، عدد ۱، عدد پی (به یونانی: π) و یکه موهومی i از معروفیت خاصی برخوردار است.[۲] علاوه بر تعریف انتزاعی آن‌ها، این پنج عدد نقشی مهم و کلیدی در سرتاسر ریاضیات بازی می‌کنند. برای مثال می‌توان هر پنج عدد را در تساوی اویلر[۳] مشاهده کرد.

عدد e یک عدد گنگ است؛ یعنی کسری از اعداد صحیح نیست. به علاوه، این عدد یک عدد متعالی است؛ یعنی نمی‌تواند ریشهٔ هیچ معادلهٔ چند جمله‌ای غیر صفر با ضرایب گویا باشد. عدد e تا ۵۰ رقم اعشار مطابق عدد زیر است:

۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸۴۵۹۰۴۵۲۳۵۳۶۰۲۸۷۴۷۱۳۵۲۶۶۲۴۹۷۷۵۷۲۴۷۰۹۳۶۹۹۹۵...[۴]

تاریخچه[ویرایش]

اولین اشاره به این عدد، در جدولی که در ضمیمهٔ مقالهٔ مربوط به لگاریتم جان نپر در سال ۱۶۱۸ انتشار یافته بود مشاهده می‌شود.[۵] با این حال، این مقاله توضیحی راجع به این عدد نمی‌داد بلکه تنها لیستی از لگاریتم‌های حساب شده در مبنای این عدد را نشان می‌داد. به نظر می‌رسد که این جدول توسط ویلیام اوترد تهیه شده‌است. اما «کشف» این عدد توسط ژاکوب برنولی به انجام رسید، کسی که تلاش می‌کرد مقدار عبارت زیر را محاسبه کند (که در حقیقت همان e است):

e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n.

اولین استفاده شناخته شده از این عدد، که آن زمان با b نمایش داده می‌شد، در مکاتبات بین گوتفرید لایبنیتس و کریستیان هویگنس بین سال‌های ۱۶۹۰ تا ۱۶۹۱ مشاهده شده‌است. همچنین برای اولین بار اویلر بین سال‌های ۱۷۲۷ تا ۱۷۲۸ شروع به استفاده از e برای نمایش این عدد کرد[۶] و اولین استفاده از آن در مقاله، در مکانیک اویلر در سال ۱۷۳۶ مشاهده می‌شود. در حالی که سال‌های پس از آن نیز عده‌ای از ریاضی دانان از c برای نمایش این عدد استفاده می‌کردند، اما e بیشتر مرسوم بود. در نهایت نیز e به عنوان نماد استاندارد این عدد امروزه استفاده می‌شود.

نماد e[ویرایش]

در اینکه چرا عدد e، با حرف e توسط اویلر نمایش داده شده‌است صحبت‌های بسیاری است. برخی e حرف اول کلمه exponential به معنای نمایی می‌دانند، برخی آن را ابتدای اسم اویلر (به آلمانی: Euler) می‌دانند. برخی نیز می‌گویند چون حروف c،b،a و d در ریاضیات تا آن زمان به کررات استفاده شده بود، اولر از حرف e را برای نمایش این عدد استفاده کرد. هر دلیلی داشت، به هر حال امروزه اغلب این عدد را با نام اویلر می‌شناسند.

لازم است ذکر شود که اویلر علاقه زیادی به استفاده از نمادهای ریاضی داشت و ریاضیات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردی مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسیاری دیگر نمادها مدیون ابداعات اویلر است.

کاربردها[ویرایش]

مساله بهره مرکب[ویرایش]

برنولی هنگام مطالعه بر روی مسالهٔ بهره مرکب توانست این عدد را کشف کند.

به عنوان مثال یک حساب را فرض کنید که در آن 1.00$ باشد و بهرهٔ آن 100% در سال است. اگر بهره یک باره در پایان سال محاسبه و پرداخت شود، در پایان سال در حساب 2.00$ خواهیم داشت. اما اگر بهره دو بار در سال یعنی شش ماه یک بار به اندازهٔ 50% محاسبه شود، مقدار حساب تا پایان سال دو بار در ۱٫۵ ضرب خواهد شد یعنی  1.00$ \times 1.5^2 = 2.25$. اگر چهار بار این کار صورت گیرد، حساب در پایان سال برابر  1.00$ \times 1.25^4 = 2.4414... $ می‌شود و اگر ماهانه محاسبه شود  1.00$ \times {1.0833..}^{12} = 2.613035... $.

برنولی متوجه شد که این سری برای محاسبه در بازه‌های زمانی کوچک‌تر و بیشتر به یک عدد ثابت نزدیک می‌شود. محاسبهٔ هفتگی سود منجر به بدست آوردن 2.692597...$ در پایان سال می‌شود، در حالی که محاسبهٔ روزانه آن با ۲ سنت افزایش به عدد 2.714567...$ می‌رسد. با استفاده از n بازه برای محاسبهٔ سود 100%/n در هر بازه، مشاهده می‌گردد که با افزایش n به سمت اعداد بزرگتر مقدار مانده در حساب در پایان سال به عدد e نزدیک‌تر می‌شود، به طوری که اگر محاسبه و پرداخت سود به صورت پیوسته صورت گیرد به عدد2.7182818...$ خواهیم رسید. به طور کلی تر، حسابی با 1.00$ و سود R+1 با محاسبهٔ پیوستهٔ سود در یک سال به عدد e^R خواهد رسید.

آزمایش برنولی[ویرایش]

عدد e در نظریه احتمالات، جایی که به نظر نمی‌رسد به طور واضح هیچ نرخ رشد نمایی وجود داشته باشد، نیز نقش بسزایی ایفا می‌کند. برای مثال فرض کنید که قمارباز در حال بازی با یک ماشین اسلات (به انگلیسی: slot machine) است. قمارباز یک از n شانس پیروزی دارد و این بازی را n بار انجام می‌دهد. داریم برای nهای بزرگ (برای مثال چندین میلیون بازی) احتمال این که قمارباز در تمام بازی‌ها شکست بخورد برابر با \frac{1}{e} است.

این یک مثال از آزمایش برنولی است. هر بار که یک قمارباز بازی می‌کند یک در میلیون شانس پیروزی دارد. یک میلیون بار بازی کردن را می‌توان به وسیله توزیع دوجمله‌ای مدل‌سازی کرد. پیروزی در k بار از این یک میلیون بار برابر است با:

\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k(1-10^{-6})^{10^6-k}.

در حالت خاصی که در آن k برابر صفر است، یعنی عدم پیروزی در تمامی بازی‌ها، داریم:

\left(1-\frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.

این عدد بسیار به عدد \frac{1}{e} نزدیک است و حد آن نیز به این عدد نزدیک خواهد شد:

\frac{1}{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.

مساله پریش[ویرایش]

یکی دیگر از کاربردهای e توسط ژاکوب برنولی در کنار پیر ریموند دو مونتمورت (به فرانسوی: Pierre Raymond de Montmort) این بار هنگام کار کردن بر روی مساله پریش که به اسم مساله تحویل کلاه نیز شناخته می‌شود، کشف شد.[۷] فرض کنید n نفر به یک مهمانی دعوت شده‌اند، هر نفر هنگام ورود کلاهش را به پیشخدمت می‌دهد و او نیز آن‌ها را در n جعبه که هر کدام به نام یکی از مهمان‌ها نام گزاری شده‌است، می‌گذارد. اما پیشخدمت هویت مهمان‌ها را نمی‌داند پس او هر کلاه را به صورت تصادفی در یکی از جعبه‌ها می‌گذارد. مساله دو مونتمورت این است که احتمال اینکه هیچکدام از کلاه‌ها داخل جعبهٔ خودشان قرار نگرفته باشند چقدر است. پاسخ این‌گونه‌است:

p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}.

با زیاد شدن تعداد مهمان‌ها و میل کردن n به سمت بی‌نهایت مقدار p_n به سمت 1/e میل خواهد کرد. به علاوه، تعداد حالاتی که کلاه‌ها در جعبه‌های می‌توانند قرار بگیرند به طوری که هیچ کلاهی در سرجای خودش نباشد برابر n!/e است با که باید به نزدیک ترین عدد صحیح گرد شود.[۸]

مجانب‌ها[ویرایش]

عدد e در بحث مجانب‌ها و روند صعودی توابع نیز نقش خاصی بازی می‌کند. برای مثال این عدد همراه با عدد پی (به یونانی: π) در تقریب استرلینگ برای تابع فاکتوریل دیده می‌شود.[۹][۱۰][۱۱][۱۲][۱۳]

n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n.

نتیجهٔ مسقیم این معادله به حد زیر برای به دست آوردن عدد e منجر می‌شود.

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.

e در ریاضیات[ویرایش]

لگاریتم طبیعی در e یا (ln(e برابر ۱ می‌شود.

انگیزهٔ اصلی کشف عدد e، بخصوص در ریاضیات، حل مشتق‌ها و انتگرال‌ها شامل توابع نمایی و لگاریتم بوده‌است.[۱۴] مشتق تابع عمومی نمایی y=a^x برابر است با حد عبارت زیر:

\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).

حد قسمت راست از متغیر x مستقل است و فقط به مقدار a مرتبط است. وقتی که پایهٔ تابع نمایی برابر e باشد، مقدار این حد برابر یک می‌شود. پس e را به صورت نمادین توسط عبارت زیر تعریف می‌کنند:

\frac{d}{dx}e^x = e^x.

بنابراین تابع نمایی با پایهٔ e برای محاسبات حساب دیفرانسیل بسیار مناسب است. انتخاب e به جای اعداد دیگر، به عنوان پایهٔ تابع نمایی مشتق گرفتن از این تابع را ساده‌تر کرده‌است.

انگیزهٔ دیگر برای کشف e انتخاب آن برای مبنای لگاریتم طبیعی بوده‌است.[۱۵] مشتق تابع لگاریتم عمومی log_a(x) برابر است با حد عبارت زیر:

\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right),

که در عبارت آخر تغییر متغیر u=h/x را داریم. آخرین حد در این محاسبه باز هم از x مستقل است و تنها به a بستگی دارد. به طوری که اگر a برابر e شود این حد نیز برابر با یک می‌شود. پس به صورت نمادین داریم:

\frac{d}{dx}\log_e x=\frac{1}{x}.

لگاریتم در این مبنای خاص(یعنی e) را لگاریتم طبیعی می‌نامند و آن را با "ln" نمایش می‌دهند. این تابع هنگام مشتق گرفتن رفتار مناسبی دارد و حد موجود در مشتق این تابع یک می‌شود.

پس از طریق دو راه به نتیجهٔ a=e خواهیم رسید. یک راه از طریق برابر بودن مشتق تابع نمایی a^x با خودش یعنی a^x. راه دیگر از طریق برابری مشتق تابع لگاریتمی log_a(x) با 1/x. در هر مورد، ما برای سادگی محاسبات عدد e را انتخاب می‌کنیم، با این حال هر دو راه ما را به یک e خواهند رساند.

تعریف‌های جایگزین[ویرایش]

مساحت بین محور xها تا تابع y = 1/x بین x = 1 تا x = e برابر ۱ است.

روش‌های دیگری نیز برای تعریف e موجود است: یک از آن‌ها حد یک دنباله در بی‌نهایت، دیگری مجموع یک سری نامتناهی است. همچنین تعاریف مختلفی توسط انتگرال نیز برای این عدد موجود است. بعضی از این تعاریف شامل موارد زیر می‌شود:

۱. عدد e، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به طوری که:

\frac{d}{dt}e^t = e^t.

۲. عدد e، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به طوری که:

\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.

تعاریف زیر را می‌توان از تعاریف اصلی اثبات کرد.

۳. عدد e حد یک دنباله در بی نهایت است:

e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n.

به صورت مشابه داریم:

e = \lim_{x\to 0} \left(1 + x \right)^{1/x}.

۴. عدد e مجموع یک سری نامتناهی است:

e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots.

در این‌جا !n به معنای n فاکتوریل است.

۵. عدد e، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به طوری که:

\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}.

خواص[ویرایش]

ریاضیات[ویرایش]

تابع نمایی e^x از این رو دارای اهمیت فراوان در ریاضیات است که مشتقش برابر خودش است.

\frac{d}{dx}e^x=e^x

همین طور برای انتگرال این تابع داریم:

e^x= \int_{-\infty}^x e^t\,dt
= \int_{-\infty}^0 e^t\,dt + \int_{0}^x e^t\,dt
\qquad= 1 + \int_{0}^x e^t\,dt.

توابع نمایی[ویرایش]

ماکزیمم مطلق تابع  f(x) = \sqrt[x]{x} در نقطهٔ x = e.

ماکزیمم مطلق تابع

 f(x) = \sqrt[x]{x}

در نقطهٔ x = e رخ می‌دهد. همچنین به صورت مشابه x = 1/e نقطه‌ای است که در آن، تابع

f(x) = x^x

که برای xهای مثبت تعریف شده‌است، مینیمم مطلق می‌شود.

به صورت کلی‌تر برای تابع

 f(x) = x^{x^n}

که برای xهای مثبت تعریف شده‌است، مینیمم مطلق در نقطهٔ  x= e^{-1/n} رخ خواهد داد.

تتریشن یا هایپر-۴ (به انگلیسی: tetration) نامتناهی

 x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} or\ ^{\infty}x

بر اساس نظریه اویلر همگرا خواهد شد؛ اگر و فقط اگر  e^{-e} \le x \le e^{1/e} باشد (یا به طور تقریبی x بین ۰/۰۶۶ و ۱/۴۴۴۷ باشد).

نظریه اعداد[ویرایش]

عدد e یک عدد گنگ است. اویلر این موضوع را به وسیلهٔ نامتنهاهی شدن بسط کسرهای متوالی ساده، نشان داد.[۱۶] به علاوه عدد e یک عدد متعالی است. این عدد، اولین عددی بود که با وجود این که با هدف ایجاد یک عدد متعالی ساخه نشده بود، متعالی بودنش اثبات شد (در مقایسه با عدد لیوویل). چارلز هرمیت این موضوع را در سال ۱۸۷۳ اثبات کرد.

اعداد مختلط[ویرایش]

تابع نمایی e^x از طریق بسط تیلور به صورت زیر درخواهد آمد:

 e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

به این علت که این سری حاوی خاصیت‌های مهمی برای تابع e^x است، مخصوصا هنگامی که x مختلط باشد، از آن برای در فضای اعداد مختلط بسیار استفاده می‌شود. از این بسط و بسط تیلور توابع سینوس و کسینوس می‌توان معادله اویلر را بدست آورد:

e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!

که برای تمامی xهای مختلط صحیح است، که در مورد خاص x = π برابر معادلهٔ مشخصهٔ اویلر می‌شود:

e^{i\pi} =-1\,\!

همچنین از آن می‌توان جواب چندگانهٔ لگاریتم زیر را بدست آورد:

\log_e (-1) = i\pi. \,\!

به علاوه، از این معادلهٔ می‌توان بسط را بدست آورد:

(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx),

که به معادله دی موآور معروف است.

معادلهٔ

\cos (x) + i \sin (x)\,\!

نیز به (Cis(x معروف است.

معادلات دیفرانسیل[ویرایش]

تابع

y(t) = e^{st}\,

پاسخ عمومی تمامی معادلات دیفرانسیل خطی به صورت زیر است:

L_n(y) \equiv \frac{d^n y}{dt^n} + A_1\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}\frac{dy}{dt} + A_ny \,

به طوری که با جایگذاری آن در معادله دیفرانسیل خواهیم داش:

F(s) = s^{n} + A_{1}s^{n-1} + \cdots + A_n = 0. \,

که ریشه‌های آن، sهایی است که پاسخ‌های عمومی معادلهٔ دیفرانسیل اصلی را می‌سازد.

نحوهٔ نمایش[ویرایش]

ارقام اعشار[ویرایش]

تعداد ارقام اعشار شناخته شدهٔ عدد e به صورت فراینده‌ای در طول سده های اخیر رشد کرده‌است. این رشد مدیون بهبود کارایی کامپیوترها و همچنین بهبود الگوریتم‌های محاسبهٔ این ارقام بوده‌است.[۱۷][۱۸]

تعداد ارقام محاسبه شدهٔ عدد e
تاریخ تعداد رقم اعشار محاسبه شده به وسیلهٔ
۱۷۴۸ ۱۸ لئونارد اویلر[۱۹]
۱۸۵۳ ۱۳۷ ویلیام شانکس
۱۸۷۱ ۲۰۵ ویلیام شانکس
۱۸۸۴ ۳۴۶ ج. مارکوس بورمن
۱۹۴۶ ۸۰۸ نامشخص
۱۹۴۹ ۲٬۰۱۰ جان فون نیومن (توسط کامپیوتر انیاک)
۱۹۶۱ ۱۰۰٬۲۶۵ دانیل شانکس و جان رنچ[۲۰]
۱۹۷۸ ۱۱۶٬۰۰۰ استفان گری وزنیک توسط کامپیوتر (اپل ۲[۲۱])
۱۹۹۴ آوریل ۱ ۱۰٬۰۰۰٬۰۰۰ رابرت نمیرف و جری بنل[۲۲]
۱۹۹۷ می ۱۸٬۱۹۹٬۹۷۸ پاتریک دمیشل
۱۹۹۷ آگوست ۲۰٬۰۰۰٬۰۰۰ بیرگر سیفرت
۱۹۹۷ سپتامبر ۵۰٬۰۰۰٬۸۱۷ پاتریک دمیشل
۱۹۹۹ فوریه ۲۰۰٬۰۰۰٬۵۷۹ سباستین ودنیسکی
۱۹۹۹ اکتبر ۸۶۹٬۸۹۴٬۱۰۱ سباستین ودنیسکی
۱۹۹۹ نوامبر ۲۱ ۱٬۲۵۰٬۰۰۰٬۰۰۰ خاویر گردون[۲۳]
۲۰۰۰ ژوئیه ۱۰ ۲٬۱۴۷٬۴۸۳٬۶۴۸ خاویر گردون و شیگرو کندو[۲۴]
۲۰۰۰ ژوئیه ۱۶ ۳٬۲۲۱٬۲۲۵٬۴۷۲ کولین مارتین و خاویر گردون[۲۵]
۲۰۰۰ آکوست ۲ ۶٬۴۴۲٬۴۵۰٬۹۴۴ خاویر گردون و شیگرو کندو
۲۰۰۰ آگوست ۱۶ ۱۲٬۸۸۴٬۹۰۱٬۰۰۰ خاویر گردون و شیگرو کندو
۲۰۰۳ آگوست ۲۱ ۲۵٬۱۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ خاویر گردون و شیگرو کندو[۲۶]
۲۰۰۳ سپتامبر ۱۸ ۵۰٬۱۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ خاویر گردون و شیگرو کندو[۲۷]
۲۰۰۷ آوریل ۲۷ ۱۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ شیگرو کندو و استیو پالیارو[۲۸]
۲۰۰۹ می ۶ ۲۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ شیگرو کندو و استیو پالیارو[۲۸]
۲۰۱۰ فوریه ۲۱ ۵۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ الکساندر جی. لی[۲۹]
۲۰۱۰ ژوئیه ۵ ۱٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ الکساندر جی. لی و شیگرو کندو[۳۰]

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein. Calculus. Springer، ۱۹۸۵. ISBN 0-387-90974-5. 
  2. Howard Whitley Eves. An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston، ۱۹۶۹. 
  3. Euler's identity
  4. (سری A۰۰۱۱۱۳ در سایت OEIS)
  5. O'Connor, J.J. , and Roberson, E.F. ; The MacTutor History of Mathematics archive: «The number e»; University of St. Andrews Scotland (۲۰۰۱)
  6. Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta.
  7. Grinstead, C.M. and Snell, J.L. Introduction to probability theory (published online under the GFDL), p. ۸۵.
  8. Knuth (۱۹۹۷) هنر برنامه‌نویسی رایانه Volume I, Addison-Wesley, p. ۱۸۳.
  9. Havil, J. Gamma. Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press، ۲۰۰۳. ۸۶-۸۸. 
  10. Robbins, H. «A Remark of Stirling's Formula.» Amer. Math. Monthly ۶۲, ۲۶-۲۹, ۱۹۵۵.
  11. Stirling, J. «Methodus differentialis, sive tractatus de summation et interpolation serierum infinitarium.» London, 1730. English translation by Holliday, J. «The Differential Method: A Treatise of the Summation and Interpolation of Infinite Series.» ۱۷۴۹.
  12. Whittaker, E. T. and Robinson, G. «Stirling's Approximation to the Factorial.» §۷۰ in «The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics», ۴th ed. New York: Dover, pp. ۱۳۸-۱۴۰, ۱۹۶۷.
  13. Stirling's Approximation
  14. برای مثال نگاه کنید به: Kline, M. (۱۹۹۸) Calculus: An intuitive and physical approach, Dover, section ۱۲٫۳ «The Derived Functions of Logarithmic Functions.»
  15. This is the approach taken by Klein (۱۹۹۸).
  16. How Euler Did It: Who proved e is Irrational?
  17. Sebah, P. and Gourdon, X. ; The constant e and its computation
  18. Gourdon, X. ; Reported large computations with PiFast
  19. New Scientist 21st July 2007 p.۴۰
  20. [۱] Statement from Daniel Shanks & John W Wrench — We have computed e on a 7090 to ۱۰۰٬۲۶۵D by the obvious program. On page 78 of their article «Calculation of Pi to ۱۰۰٬۰۰۰ Decimals» in the journal Mathematics of Computation, vol ۱۶ (۱۹۶۲), issue 77, page ۷۶-۹۹.
  21. Byte Magazine Vol 6, Issue ۶ (June 1981) p.۳۹۲) «The Impossible Dream: Computing e to ۱۱۶٬۰۰۰ places with a Personal Computer»
  22. Email from Robert Nemiroff and Jerry Bonnell - The Number e to 1 Million Digits
  23. Email from Xavier Gourdon to Simon Plouffe - I have made a new e computation (with verification): ۱٬۲۵۰٬۰۰۰٬۰۰۰ digits
  24. PiHacks message ۱۷۶ - calculation of E: World record by Shigeru Kondo
  25. PiHacks message ۱۷۷ - E to ۳٬۲۲۱٬۲۲۵٬۴۷۲ D
  26. PiHacks message ۱۰۶۲ - New world record computation of E: ۲۵٬۱۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ digits
  27. PiHacks message ۱۰۷۱ - Two new records: ۵۰ billions for E and 25 billions for pi
  28. ۲۸٫۰ ۲۸٫۱ English Version of PI WORLD
  29. Announcing 500 billion digits of e...
  30. A list of notable large computations of e