تقریب استرلینگ

تقریب استرلینگ یا فرمول استرلینگ، به فرمولی در ریاضیات اشاره دارد که برای تقریب‌زنی فاکتوریل‌های بزرگ به کار می‌رود و به یاد جیمز استرلینگ (به انگلیسی: James Stirling)‏ نامگذاری شده.

فرمول

محاسبهٔ مقدار واقعی ‎N!‎ برای Nهای بزرگ خسته‌کننده است، به جای آن می‌توان مقدار ‎N!‎ را از فرمول استرلینگ و لگاریتم طبیعی، محاسبه کرد:

$N!\approx A(N)= (\frac{N}{e})^N \sqrt{2\pi N}$

خطای نسبی این تقریب که از فرمولِ

$E=\frac{|N!-A(N)|}{N!}$

بدست می‌آید، در حالت بیشینه برابر است با:

$\frac{1}{12N-1}$

مثال

مقدار واقعی ‎۱۵!‎ می‌شود 1307674368000، مقدار تقریبی ‎۱۵!‎ با استفاده از فرمول استرلینگ به صورت زیر به دست می‌آید:

$ln(A(15))=15(ln(15)-1)+\frac{1}{2} (ln(2\pi)+ln(15))\approx 27.89371$

بنابراین:

$15!\approx A(15)=e^{ln(A(15))}\approx 1300420000000$

(خطای نسبی در حدود ۰٫۰۰۶ است)

جستارهای وابسته

• فاکتوریل