تقریب استرلینگ

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تقریب استرلینگ یا فرمول استرلینگ، به فرمولی در ریاضیات اشاره دارد که برای تقریب‌زنی فاکتوریل‌های بزرگ به کار می‌رود و به یاد جیمز استرلینگ (به انگلیسی: James Stirling) نامگذاری شده.[۱]

فرمول[ویرایش]

محاسبهٔ مقدار واقعی ‎N!‎ برای Nهای بزرگ خسته‌کننده است، به جای آن می‌توان مقدار ‎N!‎ را از فرمول استرلینگ و لگاریتم طبیعی، محاسبه کرد:[۲]

N!\approx A(N)= (\frac{N}{e})^N \sqrt{2\pi N}

خطای نسبی این تقریب که از فرمولِ

E=\frac{|N!-A(N)|}{N!}

بدست می‌آید، در حالت بیشینه برابر است با:

\frac{1}{12N-1}

مثال[ویرایش]

مقدار واقعی ‎۱۵!‎ می‌شود 1307674368000، مقدار تقریبی ‎۱۵!‎ با استفاده از فرمول استرلینگ به صورت زیر به دست می‌آید:

ln(A(15))=15(ln(15)-1)+\frac{1}{2} (ln(2\pi)+ln(15))\approx 27.89371

بنابراین:

15!\approx A(15)=e^{ln(A(15))}\approx 1300420000000

(خطای نسبی در حدود ۰٫۰۰۶ است)

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Stirling's approximation»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۰۸ ژانویه ۲۰۱۲).
  2. بهبودیان, جواد. «قوانین شانس یا احتمال». در آمار و احتمال مقدماتی. قوانین شمارش: دانشگاه امام رضا(ع), 1388. 93. ISBN ‎964-6582-02-8.