تاو (ریاضی)

برای دیگر کاربردها، تاو (ابهام‌زدایی) را ببینید.

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی حسابان حد تابع پیوسته قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل  مشتق تغییر متغیر مشتق ضمنی قضیه تیلور کمیت‌های وابسته ‏(en)‏ قواعد مشتق‌گیری ‏(en)‏: قاعده توانی ‏(en)‏ قاعده ضرب قاعده خارج قسمت ‏(en)‏ قاعده زنجیری حساب انتگرال  انتگرال فهرست‌های انتگرال‌ها انتگرال مجازی قواعد انتگرال‌گیری: انتگرال‌گیری جزء به جزء Disk integration ‏(en)‏ Shell integration ‏(en)‏ انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)‏ جانشانی مثلثاتی کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)‏ مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)‏ حساب برداری  گرادیان دیورژانس کرل عملگر لاپلاس قضیه گرادیان قضیه گرین قضیه استوکس قضیه دیورژانس حساب چندمتغیره  حساب ماتریس‌ها مشتق پاره‌ای انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ماتریس ژاکوبی

کرل (به انگلیسی: Curl)‏ یا تاو عبارت است از ضرب برداری عملگر $\nabla$ در یک بردار.

تعریف

کرل میدان برداری A که با curl A نمایش داده می شود، برداری است که اندازه آن حداکثر گردش خالص A در واحد سطح است وقتی که سطح به سوی صفر میل می‌کند و جهت آن جهت عمود سطح استزمانی که سطح طوری جهت داده شده باشدکه گردش خالص را حد اکثر نماید.

یک میدان برداری بدون کرل، میدان غیر گردشی یا میدان ذخیره شونده نامیده می شود.

اگر بردار v به صورت v(x,y,z) = v_x i + v_y j + v_z k تعریف شده باشد، کرل v عبارت است از:

$\mbox{curl}\;\vec v = \left( {\partial v_z \over \partial y} - {\partial v_y \over \partial z} \right) \mathbf{i} + \left( {\partial v_x \over \partial z} - {\partial v_z \over \partial x} \right) \mathbf{j} + \left( {\partial v_y \over \partial x} - {\partial v_x \over \partial y} \right) \mathbf{k} = \nabla \times \vec v$

که معادل است با دترمینان ماتریسی که

$\nabla \times \vec v = \left|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ v_x & v_y & v_z \end{matrix}\right|.$

نمایش تانسوری آن به صورت زیر است:

$\mbox{curl}(v)_i = \epsilon_{ijk}\partial_j v_k$

در اینجا مطابق سنت اینشتین اندیس تکرار شونده نشانهٔ جمع بر اندیس است و $\partial_i$ عملگر مشتق (دل) است.

برخی خواص

$\nabla \times (f \vec v) = (\nabla f) \times \vec v + f \nabla \times \vec v$

$\nabla \times (\vec u \times \vec v) = \vec u \, \nabla \cdot \vec v - \vec v \, \nabla \cdot \vec u + (\vec v \cdot \nabla) \vec u - (\vec u \cdot \nabla) \vec v$

جستارهای وابسته

• عملگر مشتق (دِل)
• گرادیان
• واگرایی
• لاپلاسین

منابع

• الکترومغناطیس میدان و موج (دیوید.ک.چنگ؛ ترجمه دکتر جبه دار مارالانی و دکتر قوامی)

• جورج براون آرفکن. روشهای ریاضی در فیزیک. ترجمهٔ اعظم پورقاضی. مرکز نشر دانشگاهی. شابک ‎&#۸۲۰۶;۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲.