انتگرال چندگانه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
حساب ماتریس‌ها
مشتق پاره‌ای
انتگرال چندگانه
انتگرال خطی
انتگرال سطحی
انتگرال حجمی
ماتریس ژاکوبی
انتگرال دوگانه برای بدست آوردن حجم محصور در زیر توابعی به کار می‌رود که دو متغیر دارند.

انتگرال چندگانه (به انگلیسی: multiple integral) گونه‌ای از انتگرال‌های معین است که در تابع‌هایی که بیش از یک متغیر حقیقی دارند، مانند ƒ(xy) یا ƒ(xyz) به کار می‌رود. انتگرال تابعی با دو متغیر بر روی ناحیه‌ای از ℝ۲ انتگرال دوگانه یا double integral نام دارد.

روش نمایش[ویرایش]

توابع با بیش از یک متغیر را با \;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) یا \;f(x,y,z,t) نمایش می‌دهند.

و روش نمایش انتگرال چندگانه به صورت زیر است:


\iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;\mathbf{d}x_1 \mathbf{d}x_2\!\ldots\mathbf{d}x_n

انتگرال‌های چندگانه[ویرایش]

انتگرال دوگانه: معرف حجم زیر تابع است که دو متغیر دارد. مثلا:

\iint f(x,y) \ dx\, dy

انتگرال سه گانه: معرف پارالل زیر نمودار(می‌توان آن را نوعی حجم ضربدر زمان گرفت) است مثلا

\iiint_\mathrm{parallelepiped} f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz

تعریف ریاضی[ویرایش]

در نظر بگیرید که برای n > 1 بازهٔ «نیمه باز» و n بُعدی T به صورت زیر تعریف شده‌است:

T=\left [ a_1, b_1 \right) \times \left [ a_2, b_2 \right) \times \cdots \times \left [ a_n, b_n \right) \subseteq \mathbb R^n.

هر بازهٔ [aj, bj) را به

تبدیل انتگرال چندگانه به انتگرال خطی[ویرایش]

برای انواع مختلف تابع این روش متفاوت می‌باشد ولی راحترینش برای توابع مستطیلی(توابعی سه بعدی که x و y آنها به هم ارتباط نداشته باشد)است که به راحتی اول از این تابع یک انتگرال خطی برحسب یکی از متغیرها گرفته می‌شود و سپس از تابع دوم(که دارای یکی دیگر از متغیرهاست)برحسب متغیر دوم انتگرال خطی گرفته می‌شود.

اما برای توابعی که مستطیلی نیستند از نظریه‌های متفاوتی استفاده می‌شود منجمله:نظریه دیورژانس٬نظریه سبز و...

روش انتگرال گیری[ویرایش]

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون[ویرایش]