انتگرال چندگانه

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی حسابان حد تابع پیوسته قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل  مشتق تغییر متغیر مشتق ضمنی قضیه تیلور کمیت‌های وابسته ‏(en)‏ قواعد مشتق‌گیری ‏(en)‏: قاعده توانی ‏(en)‏ قاعده ضرب قاعده خارج قسمت ‏(en)‏ قاعده زنجیری حساب انتگرال  انتگرال فهرست‌های انتگرال‌ها انتگرال مجازی قواعد انتگرال‌گیری: انتگرال‌گیری جزء به جزء Disk integration ‏(en)‏ Shell integration ‏(en)‏ انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)‏ جانشانی مثلثاتی کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)‏ مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)‏ حساب برداری  گرادیان دیورژانس کرل عملگر لاپلاس قضیه گرادیان قضیه گرین قضیه استوکس قضیه دیورژانس حساب چندمتغیره  حساب ماتریس‌ها مشتق پاره‌ای انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ماتریس ژاکوبی

انتگرال دوگانه برای بدست آوردن حجم محصور در زیر توابعی به کار می‌رود که دو متغیر دارند.

انتگرال چندگانه (به انگلیسی: multiple integral)‏ گونه‌ای از انتگرال‌های معین است که در تابع‌هایی که بیش از یک متغیر حقیقی دارند، مانند ƒ(x, y) یا ƒ(x, y, z) به کار می‌رود. انتگرال تابعی با دو متغیر بر روی ناحیه‌ای از ℝ^۲ انتگرال دوگانه یا double integral نام دارد.

روش نمایش

توابع با بیش از یک متغیر را با $\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ یا $\;f(x,y,z,t)$ نمایش می‌دهند.

و روش نمایش انتگرال چندگانه به صورت زیر است:

$\iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;\mathbf{d}x_1 \mathbf{d}x_2\!\ldots\mathbf{d}x_n$

انتگرال‌های چندگانه

انتگرال دوگانه: معرف حجم زیر تابع است که دو متغیر دارد. مثلا:

$\iint f(x,y) \ dx\, dy$

انتگرال سه گانه: معرف پارالل زیر نمودار(می‌توان آن را نوعی حجم ضربدر زمان گرفت) است مثلا

$\iiint_\mathrm{parallelepiped} f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz$

تعریف ریاضی

در نظر بگیرید که برای n > 1 بازهٔ «نیمه باز» و n بُعدی T به صورت زیر تعریف شده‌است:

$T=\left [ a_1, b_1 \right) \times \left [ a_2, b_2 \right) \times \cdots \times \left [ a_n, b_n \right) \subseteq \mathbb R^n.$

هر بازهٔ [a_j, b_j) را به

تبدیل انتگرال چندگانه به انتگرال خطی

برای انواع مختلف تابع این روش متفاوت می‌باشد ولی راحترینش برای توابع مستطیلی(توابعی سه بعدی که x و y آنها به هم ارتباط نداشته باشد)است که به راحتی اول از این تابع یک انتگرال خطی برحسب یکی از متغیرها گرفته می‌شود و سپس از تابع دوم(که دارای یکی دیگر از متغیرهاست)برحسب متغیر دوم انتگرال خطی گرفته می‌شود.

اما برای توابعی که مستطیلی نیستند از نظریه‌های متفاوتی استفاده می‌شود منجمله:نظریه دیورژانس٬نظریه سبز و...

جستارهای وابسته

• انتگرال
• حساب
• انتگرال خطی
• کاربرد انتگرال‌ها

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

• Mathematical Assistant on Web online evaluation of double integrals in Cartesian coordinates and polar coordinates (includes intermediate steps in the solution, powered by مکسیما)