قاعده هوپیتال

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

قاعده هوپیتال یا لوپیتال (به فرانسوی: L'Hôpital) در حساب، روشی است که با استفاده از آن می‌توان حد تابع را، در صورت وجود، در نقطه‌ای که مقدارآن ۰/۰ است بدست آورد.در واقع برای رفع ابهام (0/0) از اين قاعده بهره مي گيرند.

پیشینه[ویرایش]

یوهان برنولی قراردادی با گیوم دو لوپیتال امضا کرد که به موجب آن می‌بایست کشفیات خود در ریاضیات را برای او بفرستد. نتیجه این شد که مهم‌ترین سهم برنولی در ریاضیات امروزه به نام قاعده هاپیتال و با تلفظ فرانسوی آن: قاعده لوپیتال نامیده می‌شود.[نیازمند منبع]

تعریف ریاضی[ویرایش]

فرض کنید f و g توابعی باشند که بر بازهٔ بازی چون I، بجز احتمالاً در عددی مانند c از I، مشتق پذیرند. در این صورت اگر

\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0 \

یا

\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=\pm\infty

آنگاه

\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

نمونه[ویرایش]


\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} 
& = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \\
& = 1
\end{align}

منابع[ویرایش]

  • Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., page 420, 1991