قاعده هوپیتال

قاعده هوپیتال یا لوپیتال (به فرانسوی: L'Hôpital)‏ در حساب، روشی است که با استفاده از آن می‌توان حد تابع را، در صورت وجود، در عددی که به ازای آن به صورت ۰/۰ است، بدست آورد.

پیشینه

جان برنولی قراردادی با گیوم دو لوپیتال امضا کرد که به موجب آن می‌بایست کشفیات خود در ریاضیات را برای او بفرستد. نتیجه این شد که مهم‌ترین سهم برنولی در ریاضیات امروزه به نام قاعده هاسپیتال و با تلفظ فرانسوی آن: قاعده هوپیتال نامیده می‌شود.

تعریف ریاضی

فرض کنید f و g توابعی باشند که بر بازهٔ بازی چون I، بجز احتمالاً در عددی مانند c از I، مشتق پذیرند. در این صورت اگر

$\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0 \$

یا

$\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=\pm\infty$

آنگاه

$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

نمونه

$\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} & = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \\ & = 1 \end{align}$

منابع

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., page 420, 1991