قضیه استوکس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
گرادیان
دیورژانس
کرل
عملگر لاپلاس
قضیه گرادیان
قضیه گرین
قضیه استوکس
قضیه دیورژانس

در هندسه دیفرانسیل، قضیه استوکس گزاره‌ای است درباره انتگرال فرم‌های دیفرانسیلی که حالت عمومی چند قضیه دیگر می‌باشد. این قضیه به نام جرج گابریل استوکس نام‌گذاری شده.

تعریف[ویرایش]

هرگاه \psi یک زنجیر k بعدی از رده \varphi'' در مجموعه V \subset R^m و \omega یک فرم (k-۱) بعدی از رده \varphi' در V باشد، آنگاه :

\int_\psi d\omega=\oint_{\partial \psi} \omega

حالت‌های خاص[ویرایش]

رابطه کرل و قضیه استوکس[ویرایش]

حالت خاصی از قضیه استوکس به قضیه کاربردی زیر تبدیل می شود که در بسیاری از کتاب های درسی از این قضیه به عنوان قضیه استوکس نام برده می شود:

\oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{S} \nabla\times \mathbf{F} \cdot\mathbf{\hat n}\;da


در اینجا \mathbf{F}\; یک میدان برداری دلخواه در فضااست، S رویه ای جهت پذیر در فضا است به طوری که خم C مرز آن رویه است. بردار d\mathbf{r}؛ بردار المان طول در راستای خم C(مرز رویه S) است و بردار \mathbf{\hat n} بردار یکه(به طول یک) و عمود بر رویه S است.

انتخاب جهت بردار های \mathbf{\hat n} و d\mathbf{r}[ویرایش]

روشن است که برای هر یک از بردار های \mathbf{\hat n} و d\mathbf{r} در انتگرال های فوق دو جهت می توان در نظر گرفت و در صورت اشتباه در انتخاب جهت ها ممکن است تساوی فوق از لحاظ علامت اشتباه به دست آید. برای انتخاب این جهت می توان به طریق زیر عمل کرد: اگر فرض کنید که شخصی روی خم C در جهت انتگرالگیری (یعنی همان جهت d\mathbf{r}) راه برود و طوری بایستد که راستای قامتش در جهت \mathbf{\hat n} باشد آنگاه دست چپ وی به سمت داخل رویه خواهد بود.

منابع[ویرایش]

  • والتر رودین. اصول آنالیز ریاضی. ترجمهٔ علی اکبر عالم‌زاده. چاپ چهادهم. تهران: انتشارات علمی وفنی، ۱۳۸۱. صفحه ۳۳۰. ISBN 964-6215-00-9. 
  • سیاوش شهشهانی. حساب دیفرانسیل و انتگرال(جلد دوم).