قضیه استوکس

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی حسابان حد تابع پیوسته قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل  مشتق تغییر متغیر مشتق ضمنی قضیه تیلور کمیت‌های وابسته ‏(en)‏ قواعد مشتق‌گیری ‏(en)‏: قاعده توانی ‏(en)‏ قاعده ضرب قاعده خارج قسمت ‏(en)‏ قاعده زنجیری حساب انتگرال  انتگرال فهرست‌های انتگرال‌ها انتگرال مجازی قواعد انتگرال‌گیری: انتگرال‌گیری جزء به جزء Disk integration ‏(en)‏ Shell integration ‏(en)‏ انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)‏ جانشانی مثلثاتی کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)‏ مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)‏ حساب برداری  گرادیان دیورژانس کرل عملگر لاپلاس قضیه گرادیان قضیه گرین قضیه استوکس قضیه دیورژانس حساب چندمتغیره  حساب ماتریس‌ها مشتق پاره‌ای انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ماتریس ژاکوبی

در هندسه دیفرانسیل، قضیه استوکس گزاره‌ای است درباره انتگرال فرم‌های دیفرانسیلی که حالت عمومی چند قضیه دیگر می‌باشد. این قضیه به نام جرج گابریل استوکس نام‌گذاری شده.

تعریف

هرگاه $\psi$ یک زنجیر k بعدی از رده $\varphi''$ در مجموعه $V \subset R^m$ و $\omega$ یک فرم (k-۱) بعدی از رده $\varphi'$ در $V$ باشد، آنگاه :

$\int_\psi d\omega=\oint_{\partial \psi} \omega$

حالت‌های خاص

• حالت k = m = ۱ قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال با فرض اضافی مشتقپذیری است.
• حالت k = m = ۲ قضیه گرین است
• حالت k = m = ۳ قضیه دیورژانس گاوس است
• حالت k = ۲، m = ۳ قضیه‌ای است که توسط جرج گابریل استوکس کشف شد.

رابطه کرل و قضیه استوکس

حالت خاصی از قضیه استوکس به قضیه کاربردی زیر تبدیل می شود که در بسیاری از کتاب های درسی از این قضیه به عنوان قضیه استوکس نام برده می شود:

$\oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{S} \nabla\times \mathbf{F} \cdot\mathbf{\hat n}\;da$

در اینجا $\mathbf{F}\;$ یک میدان برداری دلخواه در فضااست، $S$ رویه ای جهت پذیر در فضا است به طوری که خم $C$ مرز آن رویه است. بردار $d\mathbf{r}$؛ بردار المان طول در راستای خم $C$(مرز رویه $S$) است و بردار $\mathbf{\hat n}$ بردار یکه(به طول یک) و عمود بر رویه $S$ است.

انتخاب جهت بردار های $\mathbf{\hat n}$ و $d\mathbf{r}$

روشن است که برای هر یک از بردار های $\mathbf{\hat n}$ و $d\mathbf{r}$ در انتگرال های فوق دو جهت می توان در نظر گرفت و در صورت اشتباه در انتخاب جهت ها ممکن است تساوی فوق از لحاظ علامت اشتباه به دست آید. برای انتخاب این جهت می توان به طریق زیر عمل کرد: اگر فرض کنید که شخصی روی خم $C$ در جهت انتگرالگیری (یعنی همان جهت $d\mathbf{r}$) راه برود و طوری بایستد که راستای قامتش در جهت $\mathbf{\hat n}$ باشد آنگاه دست چپ وی به سمت داخل رویه خواهد بود.

منابع

• والتر رودین. اصول آنالیز ریاضی. ترجمهٔ علی اکبر عالم‌زاده. چاپ چهادهم. تهران: انتشارات علمی وفنی، ۱۳۸۱. صفحه ۳۳۰. ISBN 964-6215-00-9. 
• سیاوش شهشهانی. حساب دیفرانسیل و انتگرال(جلد دوم).