انتگرال‌گیری جزء به جزء

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
انتگرال

فهرست‌های انتگرال‌ها
انتگرال مجازی
قواعد انتگرال‌گیری:
انتگرال‌گیری جزء به جزء
Disk integration ‏(en)
Shell integration ‏(en)
انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)
جانشانی مثلثاتی
کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)
مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)

انتگرال‌گیری جزء به جزء(به انگلیسی: Integration by parts) در علم ریاضیات و بخصوص در محاسبه انتگرال کاربرد دارد. در این روش یک انتگرال که محاسبه آن غیر ممکن یا پیچیده است با تغییر متغیر به انتگرالی هم ارز ولی قابل محاسبه تبدیل می شود.

شرح روش[ویرایش]

به صورت ساده اگر ‎u = f(x)‎ و ‎v = g(x) ‎ و همچنین دیفرانسیل آن ها به صورت 'du = f '(xdx و dv = g'(xdx باشد داریم:

\int f(x) g'(x)\, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\, dx\!

که به صورت ساده تر می توان نوشت:

\int u\, dv=uv-\int v\, du\!

روش جدولی[ویرایش]

با اینکه روش بازگشتی تعریف شده درست است، معمولا به خاطر سپردن و کاربرد آن دشوار است. غالبا روشی بسیار آسان تر با عناوینی نظیر "روش جدولی"، "روش مشتق و انتگرال"، "روش جز به جز پی در پی یا مکرر" ، و یا "تیک تاک توی" به دانشجویان آموخته میشود. این روش وقتی یکی از توابع ‎u = f(x)‎ یا ‎v = g(x) ‎ چند جمله ای باشند، در بهترین شرایطش قرار میگیرد، چونکه پس از مشتق گیری های پی در پی تابع چند جمله ای صفر میشود. این روش برای آن دسته از توابع که خود را (پس از چند بار مشتق یا انتگرال گیری) تکرار میکنند نیز بسیار کاراست.

برای مثال انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

\int x^3 \cos x \, dx.\!

انتگرالگیری پی درپی از v (ستون ب) مشتقات پی در پی از u (ستون الف)
\cos x \,  x^3 \,
\sin x \,  3x^2 \,
-\cos x \,  6x \,
-\sin x \,  6 \,
\cos x \,  0 \,

حال به سادگی نخستین خانه ستون الف را در دومین خانه ستون ب، دومین خانه ستون الف را در سومین خانه ستون ب، و... ضرب کرده، و سپس علامت این جمله ها را با شروع از اولی مثبت، منفی، مثبت، منفی و همینطور یکی در میان قرار دهید. توجه شود که علامت جمله اول +، دوم - و... است. در شکل زیر نحوه کار را میبینید:

Signing method in Tabular integration by parts

نتیجه به شکل زیر خواهد بود :

(+)(x^3)(\sin x) - (3x^2)(-\cos x) + (6x)(-\sin x) - (6)(\cos x) + C \,.

 = x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6x\sin x - 6\cos x + C. \,

با کمی دقت میتوان روش فوق را برای توابعی که پس از چند بار مشتق یا انتگرال گیری خود را تکرار میکنند، گسترش داد. به مثال زیر دقت کنید:

\int e^x \cos x \,dx.

انتگرالگیری پی درپی از v (ستون ب) مشتقات پی در پی از u (ستون الف)
 cos x \,  e^x \,
 sin x \,  e^x\,
 -cos x \,  e^x\,

به نحوه علامتگذاری در این مثال توجه کنید:

Extended Signing method in Tabular integration by parts


در این مثال در گام آخر لازم است که از جمله آخری(مضرب آخری) انتگرال بگیریم:

 \int e^x \cos x \,dx = e^x\sin x + e^x\cos x - \int e^x \cos x \,dx,

با ساده سازی انتگرال های دو طرف داریم:

 2 \, \int e^x \cos x \,dx = e^x\sin x + e^x\cos x,

در نتیجه حاصل به صورت زیر میشود:

\int e^x \cos x \,dx = {e^x ( \sin x + \cos x ) \over 2} + C.\!

[۱]

منابع[ویرایش]

  • Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2. 
  • Arbogast, Todd; Jerry Bona (2005). Methods of Applied Mathematics (PDF). 
  • Horowitz, David (September 1990). "Tabular Integration by Parts". The College Mathematics Journal 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368. JSTOR 2686368.