نمادگذاری‌های مشتق

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در حساب دیفرانسیل تنها یک نوع نمادگذاری واحد برای مشتق وجود ندارد و نمادگذاری‌های مختلفی توسط ریاضی‌دان‌ها استفاده شده‌است. در هر زمینه‌ای خاص٬ برخی نمادها مفیدترند.

نمادگذاری لایب‌نیتز[ویرایش]

dy
dx
d²y
dx²

معمول‌ترین نمادگذاری استفاده‌شده مربوط به لایب‌نیتز است.در این نمادگذاری مشتق y نسبت بهx می‌شود: \frac{dy}{dx}

و مشتق‌های مرتبه‌های بالاتر چنین نمایش داده می‌شوند:

\frac{d^ny}{dx^n},\quad\frac{d^n\bigl(f(x)\bigr)}{dx^n},\text{ or }\frac{d^n}{dx^n}\bigl(f(x)\bigr)

نمادگذاری لاگرانژ[ویرایش]

یکی دیگر از نمادگذاری های پرکاربرد ٬توسط ژوزف لویی لاگرانژ ابداع شده‌است.سه مرتبه‌ی اول مشتق چنین اند: f'\; ٬f''\; ٬ f'''\;

و مشتق مرتبه n نیز به صورت f (n) نشان داده می‌شود.

نمادگذاری اویلر[ویرایش]

در نمادگذاری اویلر مشتق به شکل یک عملگر دیفرانسیلی به شکل D که قبل از تابع می‌آید نمایش می‌یابد:

مشتق اول: Df \;

مشتق دوم: D^2f \;

مشتق nام: D^nf \;

معمولاً متغیری که نسبت به آن مشتق گرفته‌می‌شود را هم این‌طور نشان می‌دهند: D^n_x y \;

نمادگذاری نیوتون[ویرایش]

ẋ ẍ

در نمادگذاری نیوتن ٬ مشتق با قرار دادن نقطه بالای تابع مورد نظر نمایش می‌یابد.این نوع نمایش مشتق٬ بیشتر برای مشتق زمانی و حداکثر تا مرتبه‌ی دوم کاربرد دارد:

\dot{y} = \frac{dy}{dt} و \ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}

نمادگذاری در حساب برداری[ویرایش]

در حساب برداری ٬ابتدا یک عملگر دیفرانسیلی با نام عملگر دل تعریف می‌کنیم:

\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)

حال گرادیان در دستگاه دکارتی چنین تعریف می‌شود:

 \mathrm{grad\,}\,\varphi = \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) ,

= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi ,
= \nabla \varphi .

دیورژانس روی یک میدان برداری عمل می‌کند و به این شکل‌ها نمایش داده‌می‌شود:

 \mathrm{div\,} \mathbf{A} =  {\partial A_x \over \partial x} +  {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} ,
= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)  \cdot \mathbf{A},
 = \nabla \cdot \mathbf{A} .

عملگر لاپلاسین : \Delta = \nabla^2 عملگر لاپلاسین خوانده می‌شود:

\mathrm{div} \, \mathrm{grad} \, \varphi\,  = \nabla \cdot (\nabla \varphi)

 = (\nabla \cdot \nabla) \varphi = \nabla^2 \varphi = \Delta \varphi ,

و عملگر کرل یا تاو٬ \mathrm{curl}\,\mathbf{A}\, یا \mathrm{rot}\,\mathbf{A}\, که روی میدان برداری A عمل می‌کند به این صورت‌ها قابل نمایش است:

 \mathrm{curl}\,\mathbf{A} = \left(  {\partial A_z \over {\partial y} }  - {\partial A_y \over {\partial z} }, {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} }, {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} }  \right)

دیگر نمادگذاری‌ها[ویرایش]

برخی روش‌های دیگر برای نمایش مشتق ٬ در حساب چندمتغیره یا آنالیز تانسوری استفاده می‌شود.برای مثال:

f_x = \frac{df}{dx}

f_{x x} = \frac{d^2f}{dx^2}.

و

\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f = \partial^x f,

البته دو نماد آخر تنها در فضای اقلیدسی یکسانند و روی خمینه ها یکی نیستند.

پیوند به بیرون[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Mathematical Analysis I & II,V.A Zorich