انتگرال حجمی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
حساب ماتریس‌ها
مشتق پاره‌ای
انتگرال چندگانه
انتگرال خطی
انتگرال سطحی
انتگرال حجمی
ماتریس ژاکوبی

انتگرال حجمی(به انگلیسی: Volume integral) در ریاضیات - به‌ویژه، در حساب دیفرانسیل و انتگرال چند متغیره - اشاره به انتگرال بر روی یک دامنه سه‌بعدی دارد و به شکل زیر تعریف می‌شود:[۱]

\operatorname{Vol}(D)=\iiint\limits_D dx\,dy\,dz.

همچنین می‌توان این انتگرال را به صورت یک انتگرال سه‌گانه با محدوده D در دامنه اعداد حقیقی سه‌بعدی R3 برای تابع f(x,y,z), نوشت:

\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.

همچنین برای دستگاه مختصات استوانه‌ای داریم:

\iiint\limits_D f(r,\theta,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz,

و برای دستگاه مختصات کروی داریم:

\iiint\limits_D f(\rho,\theta,\phi)\,\rho^2 \sin\theta \,d\rho \,d\theta\, d\phi.

مثال[ویرایش]

انتگرال تابع  f(x,y,z) = 1 روي مكعب واحد نتيجه زير را مي‌دهد:

 \int\limits_0^1\int\limits_0^1\int\limits_0^1 1 \,dx\, dy \,dz = \int\limits_0^1\int\limits_0^1 (1 - 0) \,dy \,dz = \int\limits_0^1 (1 - 0) dz = 1 - 0 = 1

منابع[ویرایش]