بیشینه و کمینه

بیشینه (ماکسیمم) و کمینه (مینیمم) تابع در یک بازه، به بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار تابع در آن بازه گفته می‌شود. در اصطلاح به بیشینه و همینطور کمینه، نقاط فَرینه (اکسترمم) تابع گفته می‌شود. بیشینه و کمینه، هر یک به دو دسته تقسیم می‌شوند.

کمینه

در ریاضیات به کوچکترین مقدار یک تابع در یک محدوده کمینه (Minimum) گفته می‌شود. همچنین کمینه ممکن است به کوچکترین عضو یک مجموعه از اعداد اطلاق شود.

کمینه نسبی یا موضعی

به ازای تابع $f$ و عدد $c$، فرض می‌کنیم به ازای هر همسایگی از $c$ داشته باشیم $f(c) \le f(x)$. در این صورت $f$ در $c$ کمینه نسبی دارد.

بیشینه

در ریاضیات به بزرگ‌ترین مقدار یک تابع در یک محدوده بیشینه (Maximum) گفته می‌شود. همچنین بیشینه ممکن است به بزرگ‌ترین عضو یک مجموعه از اعداد اطلاق شود.

بیشینه نسبی یا موضعی

به ازای تابع $f$ و عدد $c$، فرض می‌کنیم به ازای هر همسایگی از $c$ داشته باشیم $f(c) \ge f(x)$.در این صورت f در c بیشینه نسبی دارد.

قضیه فرینه

اگر تابع f روی فاصله [a،b] پیوسته باشد، آنگاه f روی [a،b] دارای یک مقدار بیشینه مطلق و یک مقدار کمینه مطلق است.

همانطور که از صورت قضیه فرینه (فضیه اکسترمم) ملاحظه می‌شود شرط کافی برای وجود بیشینه مطلق و کمینه مطلق، پیوسته بودن تابع در فاصله [a،b] است. ولی با این وجود این شرط لازم نیست، چون تابعی می‌توان نشان داد که در فاصله‌ای پیوسته نباشد، ولی دارای بیشینه و کمینه مطلق باشد. به عبارت دیگر نمی توان گفت که چون تابعی در بازه‌ای ناپیوسته است، بیشینه و کمینه مطلق ندارد. اما اگر تابعی در فاصله بسته‌ای پیوسته باشد، آنگاه حتماً دارای بیشینه و کمینه مطلق است.

منابع

• سیلورمن. حساب دیفرانسیل و انتگرال. ۱۳۸۲. ۲۶۵. ISBN 964-311-005-2. 

جستارهای وابسته

• مشتق

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقیمانده اقلیدسی ∧ بزرگترین مقسوم علیه مشترک ∨ کوچکترین مضرب مشترک ترکیباتی ( ) ضریب بینم A جایگشت	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ مجموعه مکمل ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	برداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر