عملگر لاپلاس

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی حسابان حد تابع پیوسته قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل  مشتق تغییر متغیر مشتق ضمنی قضیه تیلور کمیت‌های وابسته ‏(en)‏ قواعد مشتق‌گیری ‏(en)‏: قاعده توانی ‏(en)‏ قاعده ضرب قاعده خارج قسمت ‏(en)‏ قاعده زنجیری حساب انتگرال  انتگرال فهرست‌های انتگرال‌ها انتگرال مجازی قواعد انتگرال‌گیری: انتگرال‌گیری جزء به جزء Disk integration ‏(en)‏ Shell integration ‏(en)‏ انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)‏ جانشانی مثلثاتی کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)‏ مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)‏ حساب برداری  گرادیان دیورژانس کرل عملگر لاپلاس قضیه گرادیان قضیه گرین قضیه استوکس قضیه دیورژانس حساب چندمتغیره  حساب ماتریس‌ها مشتق پاره‌ای انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ماتریس ژاکوبی

در ریاضیات و فیزیک، عملگر لاپلاس یا لاپلاسیَن که با ∇·∇، ^۲∇ یا Δ نمایش داده می‌شود، یکی از مهمترین عملگرهای بیضوی به شمار می‌رود. این عملگر در بسیاری از معادله‌های فیزیکی ظاهر می‌شود که از آن جمله می‌توان به معادله‌ی موج، معادله‌ی شرودینگر و معادله‌ی انتقال حرارت اشاره کرد.

تعریف

عملگر لاپلاس عملگر دیفرانسیلی مرتبه دوم است که بر فضای n-بعدی اقلیدسی عمل می‌کند و برابر است با دیورژانس گرادیان یک تابع. بنابراین اگر f تابعی حقیقی و دوبار مشتق‌پذیر باشد، آنگاه:

$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$   (۱)

عملگر لاپلاس در دستگاه مختصات دکارتی به شکل زیر تعریف می‌شود:

$\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}$   (۲)

منبع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Laplace operator»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۱ ژوئیه ۲۰۰۸).