دیورژانس

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی حسابان حد تابع پیوسته قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل  مشتق تغییر متغیر مشتق ضمنی قضیه تیلور کمیت‌های وابسته ‏(en)‏ قواعد مشتق‌گیری ‏(en)‏: قاعده توانی ‏(en)‏ قاعده ضرب قاعده خارج قسمت ‏(en)‏ قاعده زنجیری حساب انتگرال  انتگرال فهرست‌های انتگرال‌ها انتگرال مجازی قواعد انتگرال‌گیری: انتگرال‌گیری جزء به جزء Disk integration ‏(en)‏ Shell integration ‏(en)‏ انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)‏ جانشانی مثلثاتی کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)‏ مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)‏ حساب برداری  گرادیان دیورژانس کرل عملگر لاپلاس قضیه گرادیان قضیه گرین قضیه استوکس قضیه دیورژانس حساب چندمتغیره  حساب ماتریس‌ها مشتق پاره‌ای انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ماتریس ژاکوبی

دیورژانس (به فرانسوی: Divergence)‏ یا واگرایی، حاصلضرب داخلی عملگر مشتق $\nabla$ با یک بردار است. در حالت کلی دیورژانس از دستگاه m بعدی به 1 بعدی روی یک نگاشت از دستگاه n بعدی به m بعدی عمل میکند.

تعریف

اگر x و y و z سه مختصه دستگاه مختصات دکارتی باشند، دیورژانس بردار ‎ F(x,y,z) = F_x i + F_y j + F_z k ‏ در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

اگر x و y و z سه مختصه دستگاه مختصات دکارتي باشند، ديورژانس بردار ‎ F(x,y,z) = F_x i + F_y j + F_z k ‏ در مختصات دکارتي به صورت زير تعريف مي‌شود:

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

که در آن ‎ F_x , F_y , F_z ‏ مولفه‌هاي بردار F در راستاي x , y, z است.

به طور کلي در مختصات مايل داريم:

$\nabla\cdot\mathbf{F}={{1} \over {h_1h_2h_3}}[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1h_2h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2h_3h_1)+\frac{\partial}{\partial q_3}(F_3h_1h_2)]$

که h _i عامل مقياس و q _i مختص در دستگاه مورد نظر است. براي سه دستگاه پرکاربرد زير داريم:

دستگاه دکارتي :

$q_1=x$ , $q_2=y$ , $q_3=z$

$h_ 1=h_2=h_3=1$

دستگاه استوانه اي :

$q_1=\rho$ , $q_2=\varphi$ , $q_3=z$

$h_1=1$ , $h_2=\rho$ , $h_3=1$

$\nabla\cdot\mathbf{F}={\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial}{\partial \rho}}(\rho F_\rho)+\frac{1}{\rho}{\frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

دستگاه کروي:

$q_1=r$ , $q_2=\theta$ , $q_3=\varphi$

$h_1=1$ , $h_2=r$ , $h_3=r \sin \theta$

دستگاه کروی:

$q_1=r$ , $q_2=\theta$ , $q_3=\varphi$

$h_1=1$ , $h_2=r$ , $h_3=r \sin \theta$

تعبیر فیزیکی

ديورژانس يک اپراتور برداري است که ميزان "شار خروجي" يا "جذب از محيط" يک ميدان برداري را در يک نقطه بوسيله يک اسکالر علامت دار اندازه گيري مي کند. به عبارت تخصصي‌تر، ديورژانس نشان‌دهنده چگالي حجمي شار خروجي از (يا ورودي به) يک حجم بسيار کوچک مي باشد. به عنوان مثال در گرم و سرد شدن هوا، ميدان برداري مرتبط، سرعت حرکت هوادر يک نقطه است: اگر هوا در يک ناحيه گرم شود، در همه جهت ها منبسط مي شود بطوري‌که جهت ميدان سرعت به سمت بيرون آن ناحيه مي باشد. بنابراين ديورژانس ميدان سرعت در آن ناحيه داراي مقداري مثبت بوده و بيانگر منبع بودن آن ناحيه مي باشد. اگر هوا سرد شود ديورژانس منفي بوده و آن منطقه را يک جاذب يا حفره (سينک) مي گويند.

برخي ويژگي‌ها

اگر f اسکالر و v بردار باشد آنگاه:

$\nabla \cdot (f \vec v) = f \nabla \cdot \vec v + \vec v \cdot \nabla f$

و اگر $\vec u$ و $\vec v$ دو تابع برداري باشند:

$\nabla \cdot (\vec u \times \vec v) = \vec v \cdot \nabla \times \vec u - \vec u \cdot \nabla \times \vec v$

کاربرد

در مسائل مختلف فيزيک از چگالي جريان احتمال در مکانيک کوانتومي تا معادله پخش نوترون در رآکتور هسته‌اي ظاهر مي‌شود.

جستارهای وابسته

• عملگر مشتق (دِل)
• گرادیان
• کرل
• لاپلاسین

منبع

• سید محمد طاهری اطاقسرا
• پویا زرمهرزمین
• جورج براون آرفکن. روشهای ریاضی در فیزیک. ترجمهٔ اعظم پورقاضی. مرکز نشر دانشگاهی. شابک ‎&#۸۲۰۶;۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲.