فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی

در ادامه فهرستی از انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی نوشته شده‌است. برای آگاهی بیشتر صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

در تمامی رابطه‌ها فرض می‌شود که a ناصفر و C ثابت انتگرال‌گیری است. همچنین یادآوری می‌شود که برای هریک از انتگرال‌های وارون هذلولوی، که در زیر نوشته شده‌اند، در مقابل، یک رابطه نیز در فهرست انتگرال تابع‌های وارون مثلثاتی وجود دارد.

انتگرال تابع‌های وارون سینوس هیپربولیک

$\int\operatorname{arsinh}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)-\frac{\sqrt{a^2\,x^2+1}}{a}+C$

$\int x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{2}+ \frac{\operatorname{arsinh}(a\,x)}{4\,a^2}- \frac{x \sqrt{a^2\,x^2+1}}{4\,a}+C$

$\int x^2\,\operatorname{arsinh}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{3}- \frac{\left(a^2\,x^2-2\right)\sqrt{a^2\,x^2+1}}{9\,a^3}+C$

$\int x^m\,\operatorname{arsinh}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{m+1}\,-\, \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{\sqrt{a^2\,x^2+1}}\,dx\quad(m\ne-1)$

$\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^2\,dx= 2\,x+x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^2- \frac{2\,\sqrt{a^2\,x^2+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{a}+C$

$\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^n\,dx= x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^n\,-\, \frac{n\,\sqrt{a^2\,x^2+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n-1}}{a}\,+\, n\,(n-1)\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n-2}\,dx$

$\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^n\,dx= -\frac{x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\, \frac{\sqrt{a^2\,x^2+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n+1}}{a(n+1)}\,+\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)$

انتگرال تابع‌های وارون کسینوس هیپربولیک

$\int\operatorname{arcosh}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)- \frac{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{a}+C$

$\int x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{2}- \frac{\operatorname{arcosh}(a\,x)}{4\,a^2}- \frac{x\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{4\,a}+C$

$\int x^2\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{3}-\frac{\left(a^2\,x^2+2\right)\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{9\,a^3}+C$

$\int x^m\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{m+1}\,-\, \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}\,dx\quad(m\ne-1)$

$\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^2\,dx= 2\,x+x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^2- \frac{2\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{a}+C$

$\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,dx= x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,-\, \frac{n\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n-1}}{a}\,+\, n\,(n-1)\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n-2}\,dx$

$\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,dx= -\frac{x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\, \frac{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,+\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)$

انتگرال تابع‌های وارون تانژانت هیپربولیک

$\int\operatorname{artanh}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{artanh}(a\,x)+ \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{2\,a}+C$

$\int x\,\operatorname{artanh}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{artanh}(a\,x)}{2}- \frac{\operatorname{artanh}(a\,x)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C$

$\int x^2\,\operatorname{artanh}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{artanh}(a\,x)}{3}+ \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C$

$\int x^m\,\operatorname{artanh}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{artanh}(a\,x)}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{a^2\,x^2-1}\,dx\quad(m\ne-1)$

انتگرال تابع‌های وارون کتانژانت هیپربولیک

$\int\operatorname{arcoth}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{arcoth}(a\,x)+ \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{2\,a}+C$

$\int x\,\operatorname{arcoth}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{arcoth}(a\,x)}{2}- \frac{\operatorname{arcoth}(a\,x)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C$

$\int x^2\,\operatorname{arcoth}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{arcoth}(a\,x)}{3}+ \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C$

$\int x^m\,\operatorname{arcoth}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{arcoth}(a\,x)}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{a^2\,x^2-1}\,dx\quad(m\ne-1)$

انتگرال تابع‌های وارون سکانت هیپربولیک

$\int\operatorname{arsech}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{arsech}(a\,x)- \frac{2}{a}\,\operatorname{arctan}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}+C$

$\int x\,\operatorname{arsech}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{arsech}(a\,x)}{2}- \frac{(1+a\,x)}{2\,a^2}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}+C$

$\int x^2\,\operatorname{arsech}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{arsech}(a\,x)}{3}\,-\, \frac{1}{3\,a^3}\,\operatorname{arctan}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}\,-\, \frac{x(1+a\,x)}{6\,a^2}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}\,+\,C$

$\int x^m\,\operatorname{arsech}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\,\operatorname{arsech}(a\,x)}{m+1}\,+\, \frac{1}{m+1}\int\frac{x^m}{(1+a\,x)\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}}\,dx\quad(m\ne-1)$

انتگرال تابع‌های وارون کسکانت هیپربولیک

$\int\operatorname{arcsch}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{arcsch}(a\,x)+ \frac{1}{a}\,\operatorname{artanh}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}+C$

$\int x\,\operatorname{arcsch}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{arcsch}(a\,x)}{2}+ \frac{x}{2\,a}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}+C$

$\int x^2\,\operatorname{arcsch}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{arcsch}(a\,x)}{3}\,-\, \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{artanh}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}\,+\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}\,+\,C$

$\int x^m\,\operatorname{arcsch}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{arcsch}(a\,x)}{m+1}\,+\, \frac{1}{a(m+1)}\int\frac{x^{m-1}}{\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}}\,dx\quad(m\ne-1)$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «List of integrals of inverse hyperbolic functions»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۳۱ اوت ۲۰۱۱).