مشتق

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

شیب خط مماس در روش لایپ نیتز (خط $\triangle\,$ )

مشتق یکی از دو مفهوم اصلی حسابان است که نرخ لحظه‌ای (یا نقطه‌ای) تغییرات تابع را نشان می‌دهد.

فهرست مندرجات

۱ تعریف
- ۱.۱ نحوه‌ی نمایش
۲ نمونه
۳ تاریخچه
۴ مشتقات مراتب بالاتر
- ۴.۱ نحوه‌ی نمایش
۵ تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه
۶ تابع مشتق‌پذیر
۷ شرایط مشتق‌پذیری
۸ مشتق تابع مرکب
۹ کاربردها
۱۰ جستارهای وابسته
۱۱ پیوند به بیرون

[ویرایش] تعریف

مشتقّ تابعی مانند $f (x) \!$ ، تابع دیگری مثل $f'(x) \!$ است که مقدارش در $x$ با معادله‌ی زیر تعریف می‌شود:

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

به شرطی که این حد موجود و متناهی باشد.

بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.

[ویرایش] نحوه‌ی نمایش

مشتق اول یک تابع تک متغیره را می‌توان به صورت‌های زیر نشان داد:

$f'(x) \!$
$\frac{df}{dx} \!$

که این نحوه‌ی نمایش را نمایش دیفرانسیلی مشتق می‌نامند.

[ویرایش] نمونه

تابع $f(x) =\,$	مشتق $f'(x) =\,$	شرایط
$a\,\!$	$0\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$a x\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$1 \over x\,\!$	$- {1 \over x^2}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}\,\!$	${1 \over 2\sqrt{x}}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}_+^*$
$a x^n\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb N^*\quad x\,\in\mathbb{R}$
$a x^n\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb Z \setminus\mathbb N\quad x\,\in\mathbb{R}^*$
$a x^c\,\!$	$acx^{c-1}\,\!$	$c\,\in \mathbb R \setminus\mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^{*+}$
$\cos(x)\,\!$	$-\sin(x)\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\sin(x)\,\!$	$\cos(x)\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\tan(x)\,\!$	$1 \over \cos^2(x)$ ou $1+\tan^2(x)\,\!$	$x\neq {\pi \over 2} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
$a^x\,\!$	$a^x \ln a\,\!$	$a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}$
$\ln \|x\|\,\!$	$1 \over x\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}^*$
$\exp{x}\,\!$	$\exp{x}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\log{x}\,\!$	$\log e\over x\,\!$

[ویرایش] تاریخچه

مشتق از مسائل مهم ریاضی است که موضّع آن نیوتن و لایبنیتز بودند و حد مقدمه آن است. نیوتن سرعت لحظه‌ای را به کمک قوانین حدگیری و لایبنیتز شیب خط مماس بر منحنی‌ها را با استفاده از قوانین حدگیری محاسبه کرد، و هر یک در حالت کلی به مشتق رسید.

[ویرایش] مشتقات مراتب بالاتر

مشتقات مراتب بالاتر یک تابع از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آیند. با مشتق‌گیری دوباره از مشتق یک تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب دیگر مشتق‌های مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند.

[ویرایش] نحوه‌ی نمایش

مشتقات مراتب بالاتر (مشتق مرتبه دوم، سوم و چهارم) تابع f را می‌توان به دو صورت زیر نمایش داد:

$f'' \!$ و $f''' \!$ و $f'''' \!$
f^(۲) و f^(۳) و f^(۴)

[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه

اگر مشتق تابع $f \!$ در نقطه‌ای مانند $x \!$ موجود و معین باشد، گفته می‌شود که تابع $f \!$ در نقطه‌ی $x$ مشتق‌پذیر است.

[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر

اگر تابعی در هر نقطه از دامنه‌اش مشتق‌پذیر باشد، تابع مشتق‌پذیر نامیده می‌شود.

[ویرایش] شرایط مشتق‌پذیری

برای اینکه تابعی در یک نقطه مانند $x \!$ مشتق‌پذیر باشد، باید در یک همسایگی آن تعریف شده باشد و نیز در آن نقطه پیوسته باشد. یا به عبارتی تابع در آن نقطه هموار باشد. البته این شرط لازم برای مشتق پذیری تابع در یک نقطه است.برای مثال در حالت های زیر تابع در نقطه a پیوسته است ولی مشتق پذیر نیست ۱نقطه بازگشتی مشتق بینهایت می‌شود ۲نقطه زاویه دار مشتق چپ و راست برابر نیست

[ویرایش] مشتق تابع مرکب

نوشتار اصلی: مشتق تابع مرکب

تابع ترکیب دو تابع $f(x) \!$ و $g(x) \!$ عبارت است از: $h(x) = f(g(x)) \!$ و مشتق این تابع مرکب عبارت است از: $h'(x) \!$

[ویرایش] کاربردها

[ویرایش] پیدا کردن شیب خط

پیدا کردن خطی که دریک نقطه بر یک منحنی مماس یا عمود است. برای معادله خط (y=f(x ، شیب خط قاطع برابر است با: m ، m=tanθ را شیب یا ضریب زاویه‌ای می‌گویند. خطی که بر مماس بر منحنی عمود باشد، خط قائم بر منحنی می‌نامیم. بنابراین اگر m≠۰ شیب خط مماس و m شیب خط قائم بر منحنی باشد، آنگاه داریم: m.m= -۱

از مشتق می‌توان در ساختن جامدادی ، وسایل نظامی ، در ساختن قطب نما و غیره استفاده کرد یعنی می‌توان با استفاده از مشتق شیب مثلاً جامدادی را محاسبه کنیم. مثلاً در ساختن دیدبانی می‌توان از ضریب زاویه‌ای استفاده کرد. در صورتی که شیب در نقطه n مساوی صفر باشد آنگاه مماس بر منحنی در این نقطه، خطی افقی یا موازی محور x است. بنابراین خط قائم بر منحنی در این نقطه، خطی عمودی یا موازی محور y خواهد بد و داریم: ∞ = (m(a

[ویرایش] محاسبه تغیرات یک کمیت نسبت به دیگری

با استفاده از مشتق می‌توان مقدار تغییرات یک کمیت را نسبت به کمیت معین دیگری، وقتی این دو کمیت به وسیله تابعی به هم مربوط هستند، به دست آورد. مثلاً اگر (g(r مساحت دایره‌ای به شعاع r باشد، داریم: g(r) = π r۲ آنگاه مقدار لحظه‌ای تغییر مساخت دایره نسبت به شعاع آن برابر است با g(r) = ۲πr مقدار لحظه‌ای تغییر مساحت این دایره، وقتی شعاع آن برابر مقداری مثل r=۱ باشد، برابر است با: g(۱) = ۲π

[ویرایش] پیدا کردن شتاب

اگر (S(t معادله حرکت جسم متحرک باشد آنگاه V را متوسط سرعت در یک فاصله زمانی می‌گویند. اگر از سرعت متوسط مشتق بگیریم مقدار شتاب حرکت بدست می‌آید. که شتاب را با (a(t نشان می‌دهند یعنی شتاب در لحظه t می‌باشد. (a(t)=V(t)=S"(t

[ویرایش] محاسبه انرژی جنبشی

می‌دانیم انرژی جنبشی جسمی به جرم m و سرعت V عبارت است از ۲/(m.v^۲) برای بدست آوردن انرژی جنبشی می‌توان سرعت را از طریق گرفتن مشتق از معادله حرکت بدست آورد سپس مقدار V را در معادله انرژی جنبشی قرار داد.

[ویرایش] پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم نسبی توابع

اگر تابعی در یک نقطه از یک بازه اکسترمم نسبی داشته باشد و مشتق تابع نیز در آن نقطه وجود داشته باشد آنگاه مشتق تابع در آن نقطه مساوی صفر است. منظور از اکسترمم نسبی داشتن ماکزیمم یا مینیمم نسبی در یک نقطه است. ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی به صورت زیر تعریف می‌شوند:

تابع f در نقطه d یک "ماکزیمم نسبی" دارد هر گاه (f(d)≥f(x تابع f در نقطه C یک "مینیمم نسبی" دارد هر گاه (f(c)≤f(x

[ویرایش] پیدا کردن تابع صعودی و نزولی

اگر برای همه مقادیر (xε(a,b داشته باشیم:

اگر مشتق f بزرگ‌تر از صفر باشد آنگاه f تابعی صعودی است. اگر مشتق f کوچک‌تر از صفر باشد آنگاه f تابعی نزولی است.

[ویرایش] تعیین نقاط بحرانی توابع

نقطه C از قلمرو f را یک نقطه بحرانی f می‌نامیم، در صورتی که یکی از دو شرط زیر برقرار باشد: ۱- مشتق f در نقطه c وجود نداشته باشد. ۲- مشتق f در نقطه C مساوی صفر باشد.

فرض کنید C یک نقطه بحرانی تابع f(c)=۰,f باشد، داریم:
اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C کوچک‌تر از صفر باشد، آنگاه f در نقطه C ماکزیمم نسبی دارد.
اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C بزرگ‌تر از صفر باشد، آنگاه f در نقطه C مینیمم نسبی دارد.

[ویرایش] پیدا کردن تقعر، تحدب و نقطه عطف

یک راه بررسی محدب یا مقعر بودن یک تابع، توجه به علامت مشتق دوم آن (در صورت وجود) است. تابع f را در نظر می‌گیریم که در بازه I دوبار مشتق‌پذیر است. اگر مشتق دوم این تابع در همه نقاط بازه I بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد، آن‌گاه f در این بازه «محدب» است. اگر مشتق دوم این تابع در همه نقاط بازه I کوچک‌تر یا مساوی صفر باشد، آن‌گاه f در این بازه «مقعر» است. البته باید توجه کرد که شرط بالا تعریف تقعر و تحدب یک تابع نیست، بل‌که آزمونی است برای بررسی تقعر و تحدب در یک بازه و تنها برای توابعی قابل استفاده است که دارای مشتق دوم باشند.

نقطه عطف: اگر روی یک منحنی نقطه‌ای وجود داشته باشد که در آن نقطه جهت تقعر منحی تغییر کند، آن نقطه را یک نقطه «عطف» می‌نامیم.

[ویرایش] جستارهای وابسته

[ویرایش] پیوند به بیرون

حساب‌گر توابع WIMS محاسبه‌ی برخطّ مشتقّ توابع؛ این نرم‌افزار، شامل تمرین‌هایی تعاملی نیز هست.
دستیار ریاضی روی وب محاسبه‌ی برخطّ مشتقّ توابع؛, شامل توضیح گام‌های حل.
مشتق‌گیری از توابع تصادفی را تمرین کنید

مشتق

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

فهرست مندرجات

[ویرایش] تعریف

[ویرایش] نحوه‌ی نمایش

[ویرایش] نمونه

[ویرایش] تاریخچه

[ویرایش] مشتقات مراتب بالاتر

[ویرایش] نحوه‌ی نمایش

[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه

[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر

[ویرایش] شرایط مشتق‌پذیری

[ویرایش] مشتق تابع مرکب

[ویرایش] کاربردها

[ویرایش] پیدا کردن شیب خط

[ویرایش] محاسبه تغیرات یک کمیت نسبت به دیگری

[ویرایش] پیدا کردن شتاب

[ویرایش] محاسبه انرژی جنبشی

[ویرایش] پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم نسبی توابع

[ویرایش] پیدا کردن تابع صعودی و نزولی

[ویرایش] تعیین نقاط بحرانی توابع

[ویرایش] پیدا کردن تقعر، تحدب و نقطه عطف

[ویرایش] جستارهای وابسته

[ویرایش] پیوند به بیرون

بازدیدها

ابزارهای شخصی

گشتن

جستجو

جعبه‌ابزار

زبان‌های دیگر