فاکتوریل

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5،040
8	40،320
9	362،880
10	3،628،800
11	39،916،800
12	479،001،600
13	6،227،020،800
14	87،178،291،200
15	1،307،674،368،000
20	2،432،902،008،176،640،000
25	15،511،210،043،330،985،984،000،000

فاکتوریل (به فرانسوی: Factorielle)‏ هر عدد طبیعی در ریاضیات از حاصل‌ضرب آن عدد در تمام اعداد صحیح و مثبت (اعداد طبیعی) کوچک‌تر از آن به دست می‌آید. فاکتوریل عددی مانند $n$ را $n!$ می‌نویسند و «اِن فاکتوریل» می‌خوانند. همچنین طبق قرارداد، فاکتوریل صفر همیشه برابر با یک است.

فاکتوریل برای اولین بار توسط کریستین کرامپ و در سال ۱۸۰۸ معرفی شد.

تعریف

تابع فاکتوریل به صورت زیر تعریف شده:

$n!=\prod_{k=1}^n k \qquad \forall n \in \mathbb{N} . \!$

این تابع به وسیله توابع بازگشتی بصورت زیر تعریف می‌شود:

$n! = \begin{cases} n \leq 1 & 1 \\ n > 1 & n (n-1)! \\ \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb{N}.$

مثال

$5 ! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \$

$6 ! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720 \$

---

هر چند توضیحات فوق در رابطه با فاکتوریل کاملا صحیح است اما نمی‌تواند توضیح دهد که چرا فاکتوریل صفر برابر با یک است. و یا اینکه آیا اعداد اعشاری یا منفی هم فاکتوریل دارند یا خیر؟ در واقع فاکتوریل تعریف جامع‌تری دارد:

تعریف اصلی فاکتوریل

نمودار تابع فاکتوریل; همان‌طور که می‌بینید تمام اعداد به جز اعداد صحیح منفی دارای فاکتوریل می‌باشند.

در سطحی بالاتر تعریفی که برای فاکتوریل ارائه شده و می‌توان با استفاده از آن فاکتوریل را برای تمام اعداد به جز اعداد صحیح منفی محاسبه کرد به صورت زیر است:

$n!=\int_{0}^{\infty} t^n e^{-t}\, dt$

با این تعریف از فاکتوریل علاوه‌بر اعداد طبیعی, می‌توان فاکتوریل را برای تمام اعداد به دست آورد. نکته دیگر در مورد اعداد صحیح منفی است که مقدار فاکتوریل برای آنها به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. محاسبه فاکتوریل به این طریق بسیار دشوار بوده و نیاز به دانش ریاضیاتی بالایی دارد اما کاربردهای بسیاری در علوم مختلف از جمله فیزیک دارد.

جالب است بدانید که : $(-\frac{1}{2})!=\sqrt{\pi}$

منابع

• کتاب درسی جبر و احتمال، سال سوم نظام جدید (رشته ریاضی‌فیزیک).
• معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها/تالیف اصغر کرایه‌چیان - دانشگاه فردوسی مشهد
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Factorial»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۶ مارس ۲۰۰۹).