فهرست‌های انتگرال‌ها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

انتگرال‌گیری یکی از دو عمل اصلی در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. برخلاف دیفرانسیل که قواعد ساده‌ای دارد که با استفاده از دیفرانسیل تابع‌های سادهٔ مشابه یک تابع پیچیده، می‌توان دیفرانسیل آن را یافت، انتگرال‌ها این‌گونه نیستند. از این‌رو جدول‌های انتگرال بسیار کاربردی هستند. این صفحه فهرست برخی از پرکاربردترین انتگرال‌ها را دربردارد.


فهرست‌های انتگرال‌ها[ویرایش]

برای جزئیات بیشتر صفحات زیر را ببینید:

انتگرال‌ها با یک تکینگی[ویرایش]

\int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C
 \int {1 \over x}\,dx = \ln|x| + \begin{cases} A & \text{if }x>0; \\ B & \text{if }x < 0. \end{cases}

انتگرال(تابع مشتقf×تابعg)+انتگرال(تابع مشتقg×تابعf)=تابعf×تابعg=== تابع‌های گویا ===

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ توابع گویا

این تابع‌ها در نقطهٰ صفر برای a < -۱ یک تکینگی دارند.

انتگرال(تابع مشتقf÷تابعg)ـانتگرال((تابع مشتقg×تابعf)÷تابعgبه توان2=ـ(تابعf÷تابعg)===تابع‌های نمایی (توانی)===

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

تابع‌های لگاریتمی[ویرایش]

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال توابع لگاریتمی
\int \ln x\,dx = x \ln x - x + C
\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C

تابع‌های مثلثاتی[ویرایش]

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ توابع مثلثاتی

تابع‌های مثلثاتی معکوس[ویرایش]

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ توابع وارون مثلثانی
\int \arcsin{x} \, dx = x \, \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + C
\int \arccos{x} \, dx = x \, \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} + C
\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C
\int \arccot{x} \, dx = x \, \arccot{x} + \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C
\int \arcsec{x} \, dx = x \, \arcsec{x} - \operatorname{artanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + C
\int \arccsc{x} \, dx = x \, \arccsc{x} + \operatorname{artanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + C

تابع‌های هذلولوی[ویرایش]

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ تابع‌های هیپربولیک
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arcsin\,(\tanh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C

تابع‌های هذلولوی معکوس[ویرایش]

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ تابع‌های وارون هیپربولیک
\int \operatorname{arsinh} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{arsinh} \, x-\sqrt{x^2+1}+C
\int \operatorname{arcosh} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{arcosh} \, x-\sqrt{x+1} \, \sqrt{x-1}+C
\int \operatorname{artanh} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{artanh} \, x+\frac{\ln\left(1-x^2\right)}{2}+C
\int \operatorname{arcoth} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{arcoth} \, x+\frac{\ln\left(1-x^2\right)}{2}+C
\int \operatorname{arsech} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{arsech} \, x-2 \, \arctan\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+C
\int \operatorname{arcsch} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{arcsch} \, x+\operatorname{artanh}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+C

حاصل توابع نسبت به مشتق دومشان[ویرایش]

\int \cos ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( a\sin ax + b\cos ax \right) + C
\int \sin ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( b\sin ax - a\cos ax \right) + C
\int \cos ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( a\sin ax\, \cosh bx+ b\cos ax\, \sinh bx \right) + C
\int \sin ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( b\sin ax\, \sinh bx- a\cos ax\, \cosh bx \right) + C

تابع‌های قدر مطلق[ویرایش]

\int \left| (ax + b)^n \right|\,dx = {(ax + b)^{n+2} \over a(n+1) \left| ax + b \right|} + C \,\, [\,n\text{ is odd, and } n \neq -1\,]
\int \left| \sin{ax} \right|\,dx = {-1 \over a} \left| \sin{ax} \right| \cot{ax} + C
\int \left| \cos{ax} \right|\,dx = {1 \over a} \left| \cos{ax} \right| \tan{ax} + C
\int \left| \tan{ax} \right|\,dx = {\tan(ax)[-\ln\left|\cos{ax}\right|] \over a \left| \tan{ax} \right|} + C
\int \left| \csc{ax} \right|\,dx = {-\ln \left| \csc{ax} + \cot{ax} \right|\sin{ax} \over a \left| \sin{ax} \right|} + C
\int \left| \sec{ax} \right|\,dx = {\ln \left| \sec{ax} + \tan{ax} \right| \cos{ax} \over a \left| \cos{ax} \right|} + C
\int \left| \cot{ax} \right|\,dx = {\tan(ax)[\ln\left|\sin{ax}\right|] \over a \left| \tan{ax} \right|} + C

تابع‌های مخصوص[ویرایش]

انتگرال‌های معین[ویرایش]

\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi (همچنین ببینید تابع گاما)
\int_0^\infty{e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{2} \sqrt \frac {\pi} {a} (انتگرال گاوسی)
\int_0^\infty{x^2 e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{4} \sqrt \frac {\pi} {a^3} when a > 0
\int_0^\infty{x^{2n} e^{-a x^2}\,dx}
= \frac{2n-1}{2a} \int_0^\infty{x^{2(n-1)} e^{-a x^2}\,dx}
= \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}}
= \frac{(2n)!}{n! 2^{2n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}}
هنگامی که a > 0, n is 1,2,3,... و !! است فاکتوریل.
\int_0^\infty{x^3 e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{2 a^2} هنگامی که a > 0
\int_0^\infty{x^{2n+1} e^{-a x^2}\,dx}
= \frac {n} {a} \int_0^\infty{x^{2n-1} e^{-a x^2}\,dx}
= \frac{n!}{2 a^{n+1}}
هنگامی که a > 0, n است 0, 1, 2, ....
\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6} (همچنین ببینید Bernoulli number)
\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}
\int_0^\infty\frac{\sin{x}}{x}\,dx=\frac{\pi}{2} (see تابع سینک و انتگرال سینوسی)
\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2} (if n is an even integer and   \scriptstyle{n \ge 2})
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n} (if  \scriptstyle{n} is an odd integer and   \scriptstyle{n \ge 3} )
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\alpha x)\cos^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc}
\frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & |\alpha|= |\beta (2m-n)| \\
0 & \mbox{otherwise} \\
\end{array} \right . (for \scriptstyle \alpha, \beta, m, n integers with \scriptstyle \beta \neq 0 and \scriptstyle m, n \geq 0, همچنین ببینید Binomial coefficient)
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(\alpha x) \cos^n(\beta x) dx = 0 (for \scriptstyle \alpha,\beta real and \scriptstyle n non-negative integer, همچنین ببینید تقارن)
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(\alpha x) \sin^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc}
(-1)^{(n+1)/2} (-1)^m \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & n \mbox{ odd},\ \alpha = \beta (2m-n) \\
0 & \mbox{otherwise} \\
\end{array} \right . (for \scriptstyle \alpha, \beta, m, n integers with \scriptstyle \beta \neq 0 and \scriptstyle m, n \geq 0, همچنین ببینید Binomial coefficient)
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\alpha x) \sin^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc}
(-1)^{n/2} (-1)^m \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & n \mbox{ even},\ |\alpha| = |\beta (2m-n)| \\
0 & \mbox{otherwise} \\
\end{array} \right . (for \scriptstyle \alpha, \beta, m, n integers with \scriptstyle \beta \neq 0 and \scriptstyle m,n \geq 0, همچنین ببینید Binomial coefficient)
\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right] (where \exp[u] is the تابع نمایی e^u, and a>0)
\int_0^\infty  x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z) (where \Gamma(z) is the تابع گاما)
\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} (the تابع بتا)
\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x) (where I_{0}(x) is the modified تابع بسل of the first kind)
\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)
\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2)}\,, \nu > 0\,, this is related to the تابع چگالی احتمال of the توزیع تی-استیودنت)

The method of exhaustion provides a formula for the general case when no antiderivative exists:

\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\sum\limits_{m = 1}^{2^n  - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)2^{-n} ).
\int_0^1 [\ln(1/x)]^p\,dx = p!

Start by using the substitution x = \operatorname{artanh}\,t

I_p = \int_0^1 [\ln(1/x)]^p\;\mathrm{d}x = \int^{\infty}_0 \left[\ln(1/\operatorname{artanh}\,t) \right]^p \;\frac{\mathrm{d}t}{1 - t^2}

This brings the integral to the general form

I_n = \int^b_a (\ln f)^n f^'\;\mathrm{d}t

which after integration by parts yields

\left[f (\ln f)^n \right]^b_a - n \int^b_a (\ln f)^{n-1} f^'\;\mathrm{d}t

and provided the first term vanishes at the end points, we get the recurrence relation

I_n = -n\,I_{n-1}

which upon computation gives

I_n = (-1)^n\, n!

Applying to our integral, we notice that

[\ln(1/x)]^p = (-1)^p\;[\ln(x)]^p

Hence the final answer is:

I_p = (-1)^p\, (-1)^p\, p! = p!

جستارهای وابسته[ویرایش]

منبع‌ها[ویرایش]

  • I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Errata. (Several previous editions as well.)
  • A.P. Prudnikov (А.П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), O.I. Marichev (О.И. Маричев). Integrals and Series. First edition (Russian), volume 1–5, Nauka, 1981−1986. First edition (English, translated from the Russian by N.M. Queen), volume 1–5, Gordon & Breach Science Publishers/انتشارات سی‌آرسی, 1988–1992, ISBN 2-88124-097-6. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
  • Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X.
  • Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)

تاریخچه[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

جدول‌های انتگرال‌ها[ویرایش]

مشتق‌ها[ویرایش]

خدمات برخط[ویرایش]

برنامه‌های متن‌باز[ویرایش]