قضیه مقدار میانگین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
برای هر تابعی که در بازه [ab] پیوسته و در (ab) مشتق‌پذیر باشد، نقطه‌ای مانند c در بازه (ab) وجود دارد بطوریکه شیب خط واصل دو نقطه [ab] موازی با مماس بر تابع در نقطه c باشد.

قضیه مقدار میانگین (برای توابع پیوسته) از مهم‌ترین قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال است. قضیه‌ای با نام مشابه برای انتگرال‌ها وجود دارد.

معرفی[ویرایش]

در حساب دیفرانسیل و انتگرال کمتر قضیه‌ای به اندازه قضیه مقدار میانگین و تعمیمهایش کارساز است و حتی بعضی آن را مهم‌ترین قضیه حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌دانند.

صورت این قضیه چنان ساده است که ممکن است در نگاه اول متوجه اهمیت نتایج فراوان آن نشوید. این قضیه، ریاضیات لازم را برای براورد کردن مقدار خطای ناشی از تقریب زدن خطی در اختیار ما می گذارد و به‌وسیله آن می‌توان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن را توجیه کرد. اولین قدم برای درک این قضیه، دانستن صورت اولیه آن یعنی قضیه رل است.

قضیه مقدار میانگین[ویرایش]

در حقیقت این قضیه صورتی کلی‌تر از قضیه رُل را به ما نشان می‌دهد.

قضیه مقدار میانگین
هرگاه f تابعی پیوسته در بازه [a،b] و مشتق‌پذیر در بازه (a،b) باشد، آنگاه نقطه‌ای چون (c∈(a،b موجود است که:
f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

برهان[ویرایش]

تابع \Phi(x)=f(x)-\eta x را در نظر می‌گیریم که در آن \eta عددی ثابت است. تابع \Phi در بازه[a،b] پوسته و در (a،b) مشتق‌پذیر است.

حال \eta را به گونه‌ای تعریف می‌کنیم که \Phi (a)=\Phi(b) در این صورت باید داشته باشیم:

\Phi(a)=f(a)-\eta a=f(b)-\eta b=\Phi(b)

پس

\eta=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

پس تابع

\Phi(x)=f(x)- \left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)x

تابعی است که در بازه [a،b] در شرایط قضیه رل صدق می‌کند پس نقطه‌ای چون (c∈(a،b موجود است که:

\Phi^\prime(c)=f^\prime (c)- \left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)=0

پس f^\prime (c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

و برهان قضیه کامل می‌شود.

در واقع در اثبات قضیه مقدار میانگین سعی شد تابعی ساخته شود که از آن با استفاده از قضیه رل بتوانیم به نتیجه مورد نظر برسیم.

قضیه مقدار میانگین به صورت نمو[ویرایش]

فرض کنید f در بازه‌ای شامل x_0+ \Delta x,x_0 مشتق پذیر باشد.

در این صورت، نمو f در x0 را می‌توان به شکل:

\Delta f(x_0)=f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)=f^\prime(x_0+ \theta \Delta x)\Delta x

نوشت که در آن 0<\theta<1.

برهان[ویرایش]

f بر بازه [x_0,x_0+\Delta x] پیوسته و در (x_0,x_0+\Delta x) مشتق‌پذیر است پس بنابر قضیه مقدار میانگین نقطه‌ای چون c\in (x_0,x_0+\Delta x) وجود دارد که:

f^\prime(c)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}

پس:

\Delta f(x_0)=f^\prime (c)\Delta x\qquad (*)

از طرفی داریم x_0 <c<x_0 + \Delta x پس 0 <c-x_0 <\Delta x ولذا

0<\frac{c-x_0}{\Delta x}<1

پس قرار می دهیم \theta=\frac{c-x_0}{\Delta x} و به این ترتیب:

c=x_0+\theta\Delta x\qquad (0<\theta<1)

حال با قرار گرفتن c در رابطه (*) خواهیم داشت:

\Delta f(x_0)=f^\prime(x_0+\theta\Delta x)\Delta x

و لذا حکم ثابت می‌شود.

به عنوان مثال اگر f(x)=x2 خواهیم داشت:

\Delta f(x_0)=(x_0+\Delta x)^2-x_0^2=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2

پس f^\prime(x)=2x.

\theta مناسب برابر است با \theta=\frac{1}{2} چون در این صورت داریم:

f^\prime(x_0+\theta x)\Delta x=f^\prime(x_0+\frac{1}{2}\Delta x)\Delta x

پس

=2(x_0+\frac{1}{2}\Delta x)\Delta x=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2=\Delta f(x_0)

چه کسی قضیه مقدار میانگین را اثبات کرد؟[ویرایش]

ژوزف لویی لاگرانژ(1736-1813) در سال 1787، در آن هنگام که می کوشید بدون استفاده از مفهوم حد، حساب دیفرانسیل و انتگرال را مورد مطالعه قرار دهد، برای نخستین بار قضیه مقدار میانگین را اثبات کرد. به همین سبب گاهی به این قضیه، قضیه لاگرانژ نیز می‌گویند.

این قضیه مهم را در آثار آمپر(1775-1836) هم می‌توان یافت. هر چند شهرت آمپر به خاطر تحقیقاتی است که در الکتریسیته انجام داد، ولی تحقیقات اولیه وی در زمینه حساب دیفرانسیل و انتگرال بود و او به نقد و تصحیح ایده‌های لاگرانژ در مبادی حساب دیفرانسیل و انتگرال پرداخت.

ولی کوشی بود که در کتاب درسی معروف خود به نام «درس‌های آنالیز» در 1821 و «خلاصه درسهایی در باره حساب بینهایت کوچک‌ها» در سال 1823 تعمیم قضیه مقدار میانگین را به چاپ رسانید، و بدین ترتیب آن را معروف ساخت.

کاربرد قضیه مقدار میانگین[ویرایش]

از قضیه مقدار میانگین در اثبات بسیاری از نامساوی‌ها و قضایای مهم، و نیز آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن توابع استفاده می‌شود. در اینجا به چند مورد از این کاربردها اشاره می کنیم.

قضیه کوشی[ویرایش]

این قضیه را می‌توان تعمیمی بر قضیه مقدار میانگین دانست. برای مطالعه بیشتر و اثبات به قضیه کوشی مراجعه کنید.

قضیه کوشی
هرگاه f و g دو تابع باشند که در بازه بسته[a,b] پیوسته و در (a,b) مشتق‌پذیر باشند و g^\prime (x) به ازائ هر x عضو (a,b) ناصفر باشد، آنگاه نقطه‌ای چون (c∈(a,b هست که:
\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • جورج توماس - راس فینی. حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی (جلد اول). ترجمهٔ سیامک کاظمی - مهدی بهزاد - علی کافی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۷۰. ISBN 964-01-0536-8. 
  • ریچارد سیلورمن. حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی جدید. ترجمهٔ دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: انتشارات علمی و فنی، 1376. ISBN 964-6215-06-8. 

پیوند به بیرون[ویرایش]