مشتق جهت‌دار

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، مشتق جهت‌دار یا مشتق جهتی یک تابع مشتق‌پذیر چند متغیره در راستای یک بردار \mathbf{v} در نقطهٔ \mathbf{x}، به‌طور شهودی نشان‌دهندهٔ نرخ تغییرات لحظه‌ای آن تابع در حال عبور از نقطهٔ \mathbf{x} با سرعتی معادل با بردار \mathbf{v} است. بنابراین، مشتق جهت‌دار، مفهوم مشتق پاره‌ای را که در آن نرخ تغییرات در راستای یکی از محورهای مختصات خمیده‌خط با ثابت در نظر گرفتن سایر مختصات محاسبه می‌شود، تعمیم می‌دهد.

تعریف[ویرایش]

مشتق جهت‌دار یک تابع نرده‌ای f(\bold{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) در راستای بردار \bold{v} = (v_1, \ldots, v_n) تابعی است که با حد زیر تعریف می‌شود:[۱][۲]

\nabla_{\bold{v}}{f}(\bold{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\bold{x} + h\bold{v}) - f(\bold{x})}{h}}

اگر تابع f در نقطهٔ \mathbf{x} مشتق‌پذیر باشد، سپس مشتق جهت‌دار آن در این نقطه، در راستای هر بردار \mathbf{v} وجود داشته و می‌تواند از رابطهٔ زیر محاسبه شود:

\nabla_{\bold{v}}{f}(\bold{x}) = \nabla f(\bold{x}) \cdot \bold{v}

که \nabla در طرف راست معادلهٔ بالا، نشان‌دهندهٔ گرادیان و «\cdot» ضرب داخلی است.

نماد[ویرایش]

مشتق جهت‌دار با نمادهای زیر نشان داده می‌شود:

\nabla_{\bold{v}}{f}(\bold{x}) \sim \frac{\partial{f(\bold{x})}}{\partial{v}} \sim f'_\mathbf{v}(\mathbf{x}) \sim D_\mathbf{v}f(\mathbf{x}) \sim \mathbf{v}\cdot{\nabla f(\mathbf{x})}

ویژگی‌ها[ویرایش]

بسیاری از ویژگی‌های مشتق معمولی در مورد مشتق جهت‌دار هم برقرارند. به عنوان مثال، برای توابع f و g که در همسایگی نقطهٔ p تعریف شده و مشتق‌پذیر باشند، روابط زیر برقرار است:

  1. قاعده جمع:
    \nabla_v (f + g) = \nabla_v f + \nabla_v g
  2. قاعده ضریب ثابت:
    \nabla_v (cf) = c\nabla_v f
  3. قاعده ضرب:
    \nabla_v (fg) = g\nabla_v f + f\nabla_v g
  4. قاعده زنجیری: اگر تابع g در p و تابع h در g(p) مشتق‌پذیر باشند، آن‌گاه:
    \nabla_v h\circ g (p) = h'(g(p)) \nabla_v g (p)

پانویس[ویرایش]

  1. R. Wrede, M.R. Spiegel (2010). Advanced Calculus (3rd edition ed.). Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7. 
  2. «http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html»(انگلیسی)‎. MathWorld. بازبینی‌شده در ۱۰ دسامبر ۲۰۱۲.