ماتریس ژاکوبی

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی حسابان حد تابع پیوسته قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل  مشتق تغییر متغیر مشتق ضمنی قضیه تیلور کمیت‌های وابسته ‏(en)‏ قواعد مشتق‌گیری ‏(en)‏: قاعده توانی ‏(en)‏ قاعده ضرب قاعده خارج قسمت ‏(en)‏ قاعده زنجیری حساب انتگرال  انتگرال فهرست‌های انتگرال‌ها انتگرال مجازی قواعد انتگرال‌گیری: انتگرال‌گیری جزء به جزء Disk integration ‏(en)‏ Shell integration ‏(en)‏ انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)‏ جانشانی مثلثاتی کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)‏ مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)‏ حساب برداری  گرادیان دیورژانس کرل عملگر لاپلاس قضیه گرادیان قضیه گرین قضیه استوکس قضیه دیورژانس حساب چندمتغیره  حساب ماتریس‌ها مشتق پاره‌ای انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ماتریس ژاکوبی

ماتریس ژاکوبی، نامیده شده به اسم ریاضیدان آلمانی: کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی، ماتریسی است که در آن تمام مشتق‌های جزئی مرتبه اول یک تابع چند بعدی $f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m}$ موجود می‌باشد. این ماتریس تعمیم یافته‌ای از مشتق یک بعدی است، که ما با آن از طریق ریاضیات مدرسه‌ای آشنا هستیم.

تعریف

اگر $f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m}$ یک تابع مشتق‌پذیر چند بعدی باشد که مقادیر آن $[y_{1}(x_{1}\cdots x_{n}),\cdots, y_{m}(x_{1}\cdots x_{n})]$ باشند، آنگاه مشتق آن در هر نقطه $(x_{1}\cdots x_{n})$، یک نگاشت خطی از فضای ${\mathbb{R}^n}$ به ${\mathbb{R}^m}$ می‌باشد، به طوری که ماتریس این نگاشت خطی به صورت زیر نوشته می‌شود.

$J_F(x_1,\ldots,x_n) := \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}:= \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

کاربردها

از مهم‌ترین استفاده‌های این ماتریس، دترمینان آن است (در صورتی که مسلماً مربعی باشد) که در محاسبه انتگرال‌های چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد. به این روش، روش تغییر متغیر در محاسبه انتگرال‌ها گفته می‌شود، که با آن نیز در فضای یک بعدی از مدرسه آشنایی داریم.