ماتریس ژاکوبی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
حساب ماتریس‌ها
مشتق پاره‌ای
انتگرال چندگانه
انتگرال خطی
انتگرال سطحی
انتگرال حجمی
ماتریس ژاکوبی

ماتریس ژاکوبی، نامیده شده به اسم ریاضیدان آلمانی: کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی، ماتریسی است که در آن تمام مشتق‌های جزئی مرتبه اول یک تابع چند بعدی f\colon {\mathbb{R}^n}  \to {\mathbb{R}^m} موجود می‌باشد. این ماتریس تعمیم یافته‌ای از مشتق یک بعدی است.

تعریف[ویرایش]

اگر f\colon {\mathbb{R}^n}  \to {\mathbb{R}^m} یک تابع مشتق‌پذیر چند بعدی باشد که مقادیر آن [y_{1}(x_{1}\cdots x_{n}),\cdots, y_{m}(x_{1}\cdots x_{n})] باشند، آنگاه مشتق آن در هر نقطه (x_{1}\cdots x_{n}) ، یک نگاشت خطی از فضای {\mathbb{R}^n} به {\mathbb{R}^m} می‌باشد، به طوری که ماتریس این نگاشت خطی به صورت زیر نوشته می‌شود.

J_F(x_1,\ldots,x_n) := \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}:=  \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}


چند مثال[ویرایش]

مثال ۱: تابع F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 را با این تعریف در نظر بگیرید:

F(x,y)=\begin{bmatrix} x^2 y \\
                              5x + \sin(y)
\end{bmatrix}.

که در آن

F_1(x,y)=x^2 y

و

F_2(x,y)=5x + \sin(y)

ماتریس ژاکوبی F چنین است:

J_F(x,y)=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x} & \dfrac{\partial F_1}{\partial y}\\
                                \dfrac{\partial F_2}{\partial x}   & \dfrac{\partial F_2}{\partial y}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2xy & x^2\\
                                5   & \cos(y)
\end{bmatrix}

و دترمینان ژاکوبی:

\det(J_F(x,y))=2xy \cos(y) - 5x^2.

مثال ۲: ماتریس ژاکوبی تابع F : R3R4 شامل:

 y_1 = x_1 \,
 y_2 = 5x_3 \,
 y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,
 y_4 = x_3 \sin(x_1) \,

چنین است:

J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}.

این مثال همچنین نشان می‌دهد که ماتریس ژاکوبی لزوماً نباید مربعی باشد.

کاربردها[ویرایش]

از مهم‌ترین استفاده‌های این ماتریس، دترمینان آن است (در صورتی که مسلماً مربعی باشد) که در محاسبه انتگرال‌های چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد. به این روش، روش تغییر متغیر در محاسبه انتگرال‌ها گفته می‌شود.