جانشینی مثلثاتی

جانشینی مثلثاتی(به انگلیسی: Trigonometric substitution) در ریاضیات و در محاسبه انتگرال توابع به منظور ساده‌تر کردن توابع به کار می‌رود.مثلاً برای تبدیل عبارات رادیکالی و نمایی می‌توان از این تبدیل‌ها استفاده کرد.

• اگر انتگرال شامل عبارت a² − x² باشد:

$x=a\sin \theta \,$

و از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

$1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta .\,$

• اگر انتگرال شامل عبارت a² + x², باشد:

$x=a\tan \theta \,$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta .\,$

• گر انتگرال شامل عبارت x² − a², باشد:

$x=a\sec \theta \,$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

$\sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .\,$

چند نمونه

انتگرال‌های شامل g a² − x² در انتگرال زیر:

$\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$

می توان از روابط مثلثاتی زیر استفاده کرد:

$x=a\sin(\theta ),\quad dx=a\cos(\theta )\,d\theta ,\quad \theta =\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)$

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}(\theta ))}}}\\[8pt]&=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )}}}=\int d\theta =\theta +C=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C\end{aligned}}$

باید توجه داشت که در نمونه فوق باید همواره a> 0

نکته دیگر تغییر حدود انتگرال برای انتگرال‌های معین است.مثلاً اگر x از 0 تا a/2 تغییر کند،sin(θ) از 0 تا 1/2 تغییر می‌کند ،در نتیجه θ از 0 تا π/6 تغییر می‌کند:

$\int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.$