کروشه پواسون

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات و مکانیک کلاسیک کروشهٔ پواسون (Poisson bracket) به عمل‌گری عمده در مکانیک هامیلتونی اطلاق می‌شود.

مختصات استاندارد[ویرایش]

در مختصات استاندارد (q_i,p_j) \! برروی فضای فاز، اجراء عمل دوتایی کروشهٔ پواسون، در مورد دو تابع مفروض f(p_i,q_i,t) \! و g(p_i,q_i,t) \!، فرم زیر را به‌خود می‌گیرد:


\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ 
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right].

معادلات حرکت[ویرایش]

معادلات ژاکوبی-هامیلتون را می‌توانیم بر حسب کروشهٔ پواسون به‌صورت معادل زیر هم بیان نماییم. این موضوع را می‌شود به طور مستقیم در یک دستگاه مختصات عادی نشان داد. فرض می‌کنیم f(p,q,t) \! تابعی است بر روی یک منیفولد. آنگاه داریم:


\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} +
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + 
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}

چنانچه p=p(t) \! و q=q(t) \! را جواب‌های معادلات هامیلتون-ژاکوبی \dot{q}={\partial H}/{\partial p} و \dot{p}=-{\partial H}/{\partial q} در نظر بگیریم خواهیم داشت:


\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} +
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} -
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = 
\frac{\partial f}{\partial t} +\{f,H\}

منابع[ویرایش]

  • Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer, New York. ISBN 978-0-387-96890-2
عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقیمانده اقلیدسی
بزرگترین مقسوم علیه مشترک
کوچکترین مضرب مشترک

ترکیباتی

( ) ضریب بینم
A جایگشت

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ مجموعه مکمل
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

برداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر