کوچک‌ترین مضرب مشترک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

فرض کنید اعدادی صحیح و نا صفر باشند. عدد صحیح را مضرب مشترکی از می‌نامیم، به شرطی که همه‌ی تا را بشمارد.

مثلاً اگر عددی صحیح باشد مضرب مشترکی از است؛ بنابراین، تعداد مضرب‌های مشترک نامتناهی است.

تعریف: فرض کنید اعدادی صحیح و ناصفر باشند. در میان مضرب‌های مشترک مثبت کوچکترین عدد را (که بنا بر اصل خوش ترتیبی وجود دارد.) کوچکترین مضرب مشترک می‌نامیم و آن را با ‍ نشان می‌دهیم.

قضیه: اگر اعدادی صحیح و ناصفر باشند، هر مضرب مشترک آن‌ها بر بخش‌پذیر است.

برهان: اگر مضرب مشترکی از باشد، بنابر الگوریتم تقسیم اعدادی صحیح مانند و وجود دارند که

(۱) و


از طرف دیگر و برای هر

بنابراین

یعنی مضربی مشترک از است. در نتیجه اگر ، آنگاه ، که با نابرابری سمت راست (۱) تناقض دارد بنابراین و

منابع[ویرایش]

کتاب نظریه اعداد-مریم میرزاخانی، رویا بهشتی زواره