نسبت طلایی

تعبیر هندسی نسبت طلایی

مستطیل طلایی

نسبت طلایی در ریاضیات و هنر هنگامی است که «نسبت بخش بزرگتر به بخش كوچكتر، برابر با نسبت کل به بخش بزرگتر» باشد.»

تعریف دیگر نسبت طلایی این است که «عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید». تعریف هندسی آن چنین است: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد.

بسیاری از مراجع علمی، حرف یونانی ϕ را برای این عدد انتخاب کرده‌اند. مقدار عددی عدد طلایی برابر به طور تقریبی برابر است با:

$\varphi \approx 1.61803\,39887\dots\,$

تعبیر هندسی دیگر اینگونه‌است: پاره خط AB و نقطهٔ M روی آن مفروضند به گونه‌ای که نسبت a به b برابر است با نسبت a+b به a. این نسبت برابر φ است. یعنی:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.$

پیشینه

پیشینه توجه به عدد طلایی نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می‌رسد.اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. لوکا پاچیولی در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی (The Divine Proportion) تالیف کرد. وی در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو داوینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است.

مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد.

نسبت طلایی در ایران

برج و میدان آزادی :طول بنا ۶۳ و عرض ان ۴۲ است که ۵/۱=۴۲ : ۶۳ و به عدد طلایی نزدیک می‌باشدسبک معماری آن نیزطاق بزرگی است که تلفیقی از سبک هخامنشی و ساسانی و اسلامی است که منحنی آن با الهام از طاق کسری معماری ایران باستان را تداعی می نماید.

قلعه دالاهو، کرمانشاه :خطی از استحکامات به طول دو و نیم کیلومتر و عرض چهار متر با قلوه و لاشه سنگ به همراه ملات دیوار گچ را می سازد. سرتاسر نمای خارجی این دیوار با مجموعه‌ای از برج‌های نیم دایره‌ای شکل تقویت شده است.می دانیم۶/۱=۵/۲ : ۴ که همان عدد طلایی است.

بیستون از دوره هخامنشی، کرمانشاه:به طول ۵ کیلومتر و عرض ۳ کیلومتراست.اعداد۵و۳هردوجزودنباله فیبوناتچی هستندو۶/۱=۵:۳ و ابعاد برجسته کاری ۱۸ در ۱۰ پاست که قامت "داریوش"۵ پا و ۸ اینچ (۱۷۰ سانتیمتر)بلندی داردکه هر دو اعداد فیبوناتچی هستند پل ورسک در مازندران:این پل بر روی رودخانه ورسک در مجاورت سواد کوه بنا شد.بلندی این پل ۱۱۰ متر است وطول قوس آن ۶۶ متر می‌باشد(۶/۱ = ۶۶ : ۱۱۰ ).

مقبره ابن سینا:آرامگاه دروسط تالاری مربع شکل قرارگرفته که پله مدور(مارپیچ فیبوناتچی) و پایه‌های دوازده گانه برج را احاطه کرده اند .سطح حیاط باسه پله سراسری به ایوان متصل است.ایوان با دری به ارتفاع ۲/۳ متر و عرض ۹/۱ متر به سرسرای آرامگاه متصل است (۶/۱=۹/۱ : ۲/۳ )در دو طرف سرسرا دو تالار قرار دارد یکی در جنوب که تالار سخنرانی و اجتماعات است.و یکی در شمال که کتابخانه آرامگاه است.طول تالار کتابخانه ۴۵/۹ متر وعرض آن ۷۵/۵ متر است(۶/۱=۷۵/۵ : ۴۵/۹ )

ارگ بم :این بنا ۳۰۰ متر طول و ۲۰۰ متر عرض داشته و از ۲ قسمت تشکیل شده است. این دﮋ ۵ شیوه ساختاری از خشت خام دارد . (۳ و ۲ و ۵ اعداد دنباله فیبوناتچی هستند)

عدد في و معماري اسلامي

اگر فاصله کعبه را در شهر مکه تا قطب شمال و جنوب اندازه گرفته و به هم تقسیم کنید عدد فی بدست خواهد آمد.برای اطمینان می توانید از نرم افزار Google Earth استفاده کنید و به این حقیقت دست یابید.

تاكنون نه تنها در كتاب رمز داوینچی بلکه پیام‌ها، اسرار مذهبی و كهن در دیوارهای زیارتگاه‌های اسلامی به صورت رمز قرار مشاهده شده است.بسیاری از كاشی‌كاری‌های بناهای اسلامی متعلق به ‪ ۵۰۰‬سال پیش توانسته‌اند الگوهای فراوان ریاضی پیدا كنند كه تا دهه ‪۱۹۷۰‬ برای غربی‌ها ناشناخته بوده است.اساس یک طراحی هندسی برای نشان دادن یک نماد از علم " ماندالا" است که به عقیده بسیاری از ملت شرق به تعمق و اندیشه کمک می کند خلق بسیاری از نامحدود ها با استفاده از مثلث و مستطیل طلایی از این گونه است

كیث كریچلو" ‪ keith Critchlow‬نویسنده كتاب "الگوهای ریاضی اسلامی" چنین ادعا می کند: ما دریافته‌ایم كه اسلام در دوره قرون وسطی تا چه اندازه پیشرفته بوده است. نام این الگوهای ریاضی پیچیده در آن دوران "شیمی بیضی متقارن ممنوعه" می‌نامند.آنها از الگوی كاشی‌های هرمی برخوردارند و با چرخش یك سوم در آن قابل شناسایی هستند.همین قانون برای كاشی‌های مستطیلی نیز پیروی می‌كند كه با چرخش یك چهارم قابل شناسایی هستند ما برای كاشی‌های شش گوش چرخش یك ششم لازم است. اما این شبكه‌ها بدون وجود پنج‌ظلعی‌ها كامل نمی‌شوند و بدون رعایت فاصله میان آنها در كنار هم جفت نمی‌شوند و نمی‌توان آنها را با با چرخش یك پنجم در كنار هم قرار داد.آقای لو توانست در دیوار یكی از زیارتگاه‌های ایران دو نوع از این كاشی‌كاری‌ها بزرگ را كه با كاشی‌های هم‌شكل ساخته شده بود، كشف كند به گونه‌ای كه ظاهرا از نسبت طلایی فیثاغورثی تبعیت می‌كردند.كریچلو در این‌باره می‌گوید:سازندگان بنا بطور حتم از این نسبت خبر داشتند.

در سال ‪ ۱۹۷۳‬سر "راجر پنروس" ‪ Roger Penrose‬ریاضی‌دان برجسته غربی توانست با در نظر گرفتن این پنج‌ظلعی‌ها الگویی پنج تایی با شكلی بسازد كه از آن به عنوان كیت و یا دارت نام برده می‌شود. او نخستین غربی بود كه این حساب را كشف كرد و در آن زمان گمان می‌كرد نخستین كسی است به این موضوع پی برده‌است.خلاقیت وی به خلق خواص ریاضیاتی منجر شد هر دسته می‌تواند حاوی تعداد مشخصی‌از كیت‌ها و دارت‌هایی باشد كه می‌توانند تا بی‌نهایت و بدون تكرارپذیری الگوهای كوچكتری از كیتها و دارت‌ها بسازند.هر چقدر تعداد این اشكال ریز افزایش پیدا كند آنگاه نسبت كیت‌ها به دارت‌ها به نسبتی موسوم به "نسبت طلایی" می‌رسد.

"گلرو نجیب اوغلو" ‪ Gulru Nacipoglu‬یكی از اساتید دانشگاه هاروارد می‌گوید:خلقت انسان مشابه هم است و شكل مشخصی دارد كه از عجایب خلقت خداوندی است این كه این الگوها به كجا ختم می‌شوند و به صورت هوشمندانه‌ای در درها و پنجره‌ها به كار رفته‌اند مسئله‌ای است كه نمی‌توان مشخص كرد.به گفته وی، با وجود این كه الگوی پنروس به قرن ‪ ۱۴‬یا ‪ ۱۵‬بازمی‌گردد اما این اشكال كاشی‌كاری در دنیای اسلام از صدها سال قبل از آن به كار گرفته شده است. در منبت‌كاری‌های ایران در قرن پانزدهم و اوایل شانزدهم فهرستی از بسیاری از این طرح‌ها قرار دارند كه ممكن است سرنخی برای شكوه ریاضیات اسلامی در مساجد ایران و تركیه و مدارس بغداد و زیارتگاه‌های هند و افغانستان باشد.دانشمندان اكنون می‌دانند كه مسلمانان در آن دوران می‌توانستند معادلات جبری به توان ‪ ۳‬و فراتر از آن را حل كنند معادلاتی كه بسیار دشوارتر از معادله دو مجهولی است و اساس جبر به شمار می‌رود. مسلمانان همچنین دارای حسابگرهای مكانیكی بودند و در علم داروشناسی و ستاره شناسی پیشرفته‌تر از اروپایی‌ها بوده‌اند اما با این حال جای تاسف است كه تعداد اندكی از این دانشمندان درباره یافته‌های خود كتاب و یا اثر به رشته تحریر درآورده‌اند".

ترسیم

ترسیم مستطیل طلایی

برای رسم کردن مستطیل طلایی ابتدا مربع ABCD با استفاده از ضلع کوچک رسم می‌شود. سپس ضلع AB را نصف کرده، از وسط آن (نقطه G) با پرگار یک قوس به شعاع GC ترسیم کرده و ضلع بزرگ مستطیل (AE) را به دست می‌آورند.با توجه به شکل ترسیم شده، نصف طول این ضلع برابر نسبت طلایی است.

محاسبات

تعبیر هندسی نسبت طلایی

برای بدست آوردن نسبت طلائی از تعریف هندسی آن استفاده می‌کنیم:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.$

از این معادله که تعریف عدد φ است، که از معادله سمت راست می‌توان نتیجه گرفت: a = bφ، پس خواهیم داشت:

$\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,.$

با حذف b از طرفین به دست می‌آید:

$\frac{\varphi+1}{\varphi}=\varphi.$

پس از ساده سازی این معادله، معادله درجه دومی بر حسب φ به دست می‌آید:

φ² − φ − 1 = 0.

و پاسخ مثبت آن:

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1.61803\,39887\dots\,$

که همان نسبت طلائی است.

جستارهای وابسته

• دنباله فیبوناچی

منابع

• حسینی‌راد، عبدالمجید. مبانی هنرهای تجسمی (قسمت اول). شرکت چاپ و نشر کتاب‌های درسی ایران، ۱۳۸۲. ص.۷۲. 

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ نسبت طلایی موجود است.