عدد پی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
مساحت دایره \pi برابر r۲ (مساحت مربع حاشورخورده) است
محیط دایره \pi برابر قطرش است

عدد پی (π) از عددهای ثابت ریاضی و تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ است. این عدد را با علامت \pi نشان می‌دهند. عدد پی عددی حقیقی و گُنگ است که نسبت محیط دایره به قطر آن را در هندسهٔ اقلیدسی مشخص می‌کند و کاربردهای فراوانی در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.

تعریف[ویرایش]

عدد پی عدد گنگی است که در بسیاری از محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و از مهمترین اعداد کاربردی در ریاضیات می‌باشد. آن را با \pi نمایش می‌دهند. در هندسه اقلیدسی دو بعدی، این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره و یا مساحت دایره‌ای به شعاع واحد تعریف می‌کنند. در ریاضیات مدرن این عدد را در آنالیز ریاضی و با استفاده از توابع مثلثاتی، به صورت دقیق ریاضی تعریف می‌کنند. به عنوان نمونه عدد پی را دو برابر کوچکترین مقدار مثبت x، که به ازای آن cos(x)=0 می‌شود تعریف می‌کنند.

۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵ ۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶ ۲۶۴۳۳۸۳۲۷۹ ۵۰۲۸۸۴۱۹۷۱ ۶۹۳۹۹۳۷۵۱۰

۵۸۲۰۹۷۴۹۴۴ ۵۹۲۳۰۷۸۱۶۴ ۰۶۲۸۶۲۰۸۹۹ ۸۶۲۸۰۳۴۸۲۵ ۳۴۲۱۱۷۰۶۷۹ ۸۲۱۴۸۰۸۶۵۱ ۳۲۸۲۳۰۶۶۴۷ ۰۹۳۸۴۴۶۰۹۵ ۵۰۵۸۲۲۳۱۷۲ ۵۳۵۹۴۰۸۱۲۸ ۴۸۱۱۱۷۴۵۰۲ ۸۴۱۰۲۷۰۱۹۳ ۸۵۲۱۱۰۵۵۵۹ ۶۴۴۶۲۲۹۴۸۹ ۵۴۹۳۰۳۸۱۹۶ ۴۴۲۸۸۱۰۹۷۵ ۶۶۵۹۳۳۴۴۶۱ ۲۸۴۷۵۶۴۸۲۳ ۳۷۸۶۷۸۳۱۶۵ ۲۷۱۲۰۱۹۰۹۱ ۴۵۶۴۸۵۶۶۹۲ ۳۴۶۰۳۴۸۶۱۰ ۴۵۴۳۲۶۶۴۸۲ ۱۳۳۹۳۶۰۷۲۶ ۰۲۴۹۱۴۱۲۷۳ ۷۲۴۵۸۷۰۰۶۶ ۰۶۳۱۵۵۸۸۱۷ ۴۸۸۱۵۲۰۹۲۰ ۹۶۲۸۲۹۲۵۴۰ ۹۱۷۱۵۳۶۴۳۶ ۷۸۹۲۵۹۰۳۶۰ ۰۱۱۳۳۰۵۳۰۵ ۴۸۸۲۰۴۶۶۵۲ ۱۳۸۴۱۴۶۹۵۱ ۹۴۱۵۱۱۶۰۹۴ ۳۳۰۵۷۲۷۰۳۶ ۵۷۵۹۵۹۱۹۵۳ ۰۹۲۱۸۶۱۱۷۳ ۸۱۹۳۲۶۱۱۷۹ ۳۱۰۵۱۱۸۵۴۸ ۰۷۴۴۶۲۳۷۹۹ ۶۲۷۴۹۵۶۷۳۵ ۱۸۸۵۷۵۲۷۲۴ ۸۹۱۲۲۷۹۳۸۱ ۸۳۰۱۱۹۴۹۱۲ ۹۸۳۳۶۷۳۳۶۲ ۴۴۰۶۵۶۶۴۳۰ ۸۶۰۲۱۳۹۴۹۴ ۶۳۹۵۲۲۴۷۳۷ ۱۹۰۷۰۲۱۷۹۸ ۶۰۹۴۳۷۰۲۷۷ ۰۵۳۹۲۱۷۱۷۶ ۲۹۳۱۷۶۷۵۲۳ ۸۴۶۷۴۸۱۸۴۶ ۷۶۶۹۴۰۵۱۳۲ ۰۰۰۵۶۸۱۲۷۱ ۴۵۲۶۳۵۶۰۸۲ ۷۷۸۵۷۷۱۳۴۲ ۷۵۷۷۸۹۶۰۹۱ ۷۳۶۳۷۱۷۸۷۲ ۱۴۶۸۴۴۰۹۰۱ ۲۲۴۹۵۳۴۳۰۱ ۴۶۵۴۹۵۸۵۳۷ ۱۰۵۰۷۹۲۲۷۹ ۶۸۹۲۵۸۹۲۳۵ ۴۲۰۱۹۹۵۶۱۱ ۲۱۲۹۰۲۱۹۶۰ ۸۶۴۰۳۴۴۱۸۱ ۵۹۸۱۳۶۲۹۷۷ ۴۷۷۱۳۰۹۹۶۰ ۵۱۸۷۰۷۲۱۱۳ ۴۹۹۹۹۹۹۸۳۷ ۲۹۷۸۰۴۹۹۵۱ ۰۵۹۷۳۱۷۳۲۸ ۱۶۰۹۶۳۱۸۵۹ ۵۰۲۴۴۵۹۴۵۵ ۳۴۶۹۰۸۳۰۲۶ ۴۲۵۲۲۳۰۸۲۵ ۳۳۴۴۶۸۵۰۳۵ ۲۶۱۹۳۱۱۸۸۱ ۷۱۰۱۰۰۰۳۱۳ ۷۸۳۸۷۵۲۸۸۶ ۵۸۷۵۳۳۲۰۸۳ ۸۱۴۲۰۶۱۷۱۷ ۷۶۶۹۱۴۷۳۰۳ ۵۹۸۲۵۳۴۹۰۴ ۲۸۷۵۵۴۶۸۷۳ ۱۱۵۹۵۶۲۸۶۳ ۸۸۲۳۵۳۷۸۷۵ ۹۳۷۵۱۹۵۷۷۸ ۱۸۵۷۷۸۰۵۳۲ ۱۷۱۲۲۶۸۰۶۶ ۱۳۰۰۱۹۲۷۸۷ ۶۶۱۱۱۹۵۹۰۹ ۲۱۶۴۲۰۱۹۸۹ ۳۸۰۹۵۲۵۷۲۰ ۱۰۶۵۴۸۵۸۶۳ ۲۷۸۸۶۵۹۳۶۱ ۵۳۳۸۱۸۲۷۹۶ ۸۲۳۰۳۰۱۹۵۲ ۰۳۵۳۰۱۸۵۲۹ ۶۸۹۹۵۷۷۳۶۲ ۲۵۹۹۴۱۳۸۹۱ ۲۴۹۷۲۱۷۷۵۲ ۸۳۴۷۹۱۳۱۵۱ ۵۵۷۴۸۵۷۲۴۲ ۴۵۴۱۵۰۶۹۵۹

تاریخچه[ویرایش]

تقریب اعشاری عدد پی

Cir.jpg

اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد. این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره بوسیله یک شش ضلعی منتظم محیطی و یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.

ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند. از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد: \frac11 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \frac19 - \ldots = \frac{\pi}{4}

یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا ۶ رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.

طبق محاسبهٔ کامپیوتری سری فوق، تعداد سری و اعشار محاسبه شده مطابق زیر است:

  • ۱۰۰ میلیون جمله: ۷ رقم اعشار
  • یک میلیارد جمله: ۸ رقم اعشار

ارقام بالا نشان می‌دهد که این الگوریتم رشد نمایی شدیدی دارد که زمان زیادی را می‌تواند برای محاسبهٔ ارقام بسیار بالا صرف نماید.

در سال ۱۷۶۱ لامبرت ریاضیدان سوئیسی ثابت کرد که عدد پی گنگ می‌باشد و نمی‌توان آنرا بصوت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که عدد پی یک عدد جبری نیست و نمی‌تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند (همانند عدد e). این کشف بزرگ یعنی اینکه عدد پی یک عدد گنگ می‌باشد به سالها تلاش ریاضی‌دانان برای تربیع دایره پایان داد.

در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه‌های رایانه‌ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد. این فرمول به صورت زیر است:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac15 - \arctan \frac1{239}

با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا ۷۰۷ رقم اعشار محاسبه کرد، در حالیکه فقط ۵۲۷ رقم آن درست بود.

باوجود آنکه همه ریاضی‌دانان می‌دانند که عدد پی گنگ می‌باشد و هرگز نمی‌توان آنرا بطور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمول‌ها و مدل‌های محاسبه عدد پی هموار برای آنها از جذابیت زیادی برخوردار بوده‌است. بسیاری از آنها تمام عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد زیبا نمودند اما آنها هرگز نتوانستند تا قبل از ساخت کامپیوتر این عدد را بیش از ۱۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمایند.

امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته‌ترین رایانه‌ها تا میلیونها رقم محاسبه شده‌است. و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است. اولین محاسبه کامپیوتری در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه نمود و در اوخر سال ۱۹۹۹ یکی از سوپر کامپیوترهای دانشگاه توکیو این عدد را تا ۲۰۶٬۱۵۸٬۴۳۰٬۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمود.

از سال ۱۹۸۸ روز ۱۴ مارس را در آمریکا روز عدد پی نام نهاده‌اند و جشن می‌گیرند. روزهای دیگری نیز برای عدد پی در دیگر کشورها تعیین شده و مراسمی برای معرفی عدد پی و اهمیت آن برگزار می‌شود.

عدد پی در ایران[ویرایش]

در قرن نهم هجری غیاث الدین جمشید کاشانی و ریاضی‌دان دانشمند ایرانی در رساله المحیطیه که درباره دایره نوشت، عدد پی را با ۱۶ رقم درست پس از ممیز یافت که تا صد و هشتاد سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد.


فهرست اعداداعداد گنگ
ζ(3)√2√3√5φαe – π – δ
دودویی ۱۱٫۰۰۱۰۰۱۰۰۰۰۱۱۱۱۱۱۰۱۱۰…
دهدهی ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶…
دوازده‌دوازدهی ۳٬۱۸۴۸۰۹۴۹۳B۹۱۸۶۴…
شانزده‌شانزدهی ۳٫۲۴۳F6A۸۸۸۵A308D۳۱۳۱۹…
کسر متناوب 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}
Note that this continued fraction is not periodic.

در رسانه[ویرایش]

منابع[ویرایش]

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ عدد پی موجود است.