تصاعد هندسی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نمایش تصویری تصاعد هندسی ۱ + ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ... که قدر نسبت آن ۱/۲ است.

در ریاضیات، تصاعد هندسی (به انگلیسی: geometric progression) به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که از جمله اول به بعد، هر جمله برابر است با حاصل‌ضرب جمله قبلی در یک عدد ثابت و مخالف صفر و یک. به این عدد ثابت قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۲، ۶، ۱۸، ۵۴، ... یک دنباله از اعداد با قدر نسبت ۳ است. مجموع اعداد یک دنبالهٔ هندسی را سری هندسی می‌نامند.

شکل کلی دنباله‌های هندسی به صورت زیر نوشته می‌شود:

بنابراین شکل کلی سری هندسی به صورت زیر خواهد بود:

در رابطه‌های بالا جملهٔ اول دنباله و r ≠ ۰ قدر نسبت تصاعد بود.

ویژگی‌های اولیه[ویرایش]

n امین جملهٔ تصاعد هندسی با قدر نسبت r و جملهٔ اول به صورت زیر نوشته می‌شود:

همچنین طبق معادلهٔ تفاضل برای تمامی می‌توان گفت:

رفتار جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی تنها به قدر نسبت آن تصاعد وابسته‌است. چنانچه قدر نسبت تصاعد:

  • مثبت باشد، جمله‌های بعدی دنباله همگی هم علامت جملهٔ اول خواهد بود.
  • منفی باشد، جمله‌های بعدی دنباله به صورت یک در میان علامت مخالف خواهند داشت.
  • بزرگتر از ۱ باشد، جمله‌های دنباله رشد نمایی به سمت مثبت بی‌نهایت خواهند داشت.
  • ۱ باشد، دنباله ثابت خواهد بود.
  • میان ۱ و ۱- باشد ولی صفر نباشد، جمله‌های بعدی دنباله به سمت صفر کاهش می‌یابند.
  • ۱- باشد، جمله‌های بعدی تشکیل یک دنبالهٔ متناوب را خواهند داد.
  • کوچکتر از ۱- باشد، قدر مطلق جمله‌های دنباله رشد نمایی خواهند داشت و هر یک از آن‌ها بسته به علامت به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت میل خواهند کرد.

در صورتی که در دنباله‌های هندسی، قدر نسبت برابر با ۰ یا ۱ یا ۱- نباشد، در حالت کلی شاهد رشد نمایی به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت (بسته به علامت جمله‌ها) یا به سمت صفر خواهیم بود.

سری‌های هندسی[ویرایش]

نوشتار اصلی: سری هندسی

سری هندسی به مجموع جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی گفته می‌شود.

اگر دو سوی تساوی را در ضرب کنیم به رابطهٔ ساده‌تری می‌رسیم و خواهیم داشت:

برای یک سری هندسی در صورتی که r ≠ ۱ باشد رابطهٔ مجموع به صورت زیر نوشته می‌شود:

اگر مجموع را از شمارشگری بزرگتر از ۰ مانند m شروع کنیم:

مشتق این رابطه نسبت به r باعث می‌شود تا به رابطه‌ای برای مجموع برسیم:

برای نمونه:

یک سری هندسی که تنها توان‌های زوج r را دارد را باید در : ضرب کرد:

آنگاه

و برای سری که توان‌های فرد r را دارد:

و

سری‌های هندسی نامتناهی[ویرایش]

نوشتار اصلی: سری هندسی

یک سری هندسی نامتناهی یک سری نامتناهی ریاضی است که جمله‌های پشت هم آن قدر نسبت ثابتی داشته باشند. چنین سری‌های همگرا خواهند بود اگر و تنها اگر قدر مطلق قدر نسبت آن کوچکتر از ۱ باشد ۱> |r|. مقدار آن‌ها را می‌توان بوسیله رابطهٔ بدست آمده برای مجموع سری در حالت متناهی بدست آورد:

از آنجایی که:

آنگاه

برای سری که تنها توان‌های زوج را دارد:

و برای توان‌های فرد:

در صورتی که مجموع از شمارشگر k = ۰ شروع نشود:

رابطه‌ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱> |r| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می‌توانیم از مشتق‌گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه:

رابطهٔ بالا تنها برای ۱> |r| کار می‌کند. همچنین برای۱> |r| می‌توان نوشت:

سری‌های نامتناهی مانند ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + · · · وجود دارند که مطلقاً همگرا هستند. در این سری جملهٔ اول و قدر نسبت هر دو ۱/۲ هستند؛ مجموع این سری خواهد بود:

وارون سری بالا ۱/۲ − ۱/۴ + ۱/۸ − ۱/۱۶ + · · · خود یک نمونه از سری‌های متناوب است که مطلقاً همگرا است. در این سری هندسی جملهٔ اول ۱/۲ است و مجموع آن عبارت است از:

اعداد مختلط[ویرایش]

رابطه‌هایی که برای مجموع سری‌های هندسی بدست آمد حتی در مجموعهٔ اعداد مختلط نیز معتبر است. با این تفاوت که شرط «قدر مطلق r کوچکتر از ۱ باید باشد»، با «اندازهٔ عدد مختلط r کوچکتر از ۱ باید باشد» جایگزین می‌شود. با کمک مفهوم اعداد مختلط برخی سری‌هایی که به ظاهر هندسی نیستند به سری هندسی تبدیل می‌شوند. برای نمونه:

چون:

که این از نتایج فرمول اولر است. با جایگزینی آن در رابطهٔ اصلی خواهیم داشت:

.

که این خود برابر است با تفاضل دو سری هندسی.

ضرب[ویرایش]

ضرب یک تصاعد هندسی به معنی ضرب تمامی جمله‌های آن در یکدیگر است. اگر تمامی جمله‌های آن مثبت باشد، می‌توان آن را به آسانی به کمک رابطهٔ میانگین هندسی و جمله‌های اول و آخر دنباله، محاسبه کرد. (این رابطه به مجموع تصاعد حسابی بسیار شبیه‌است)

(if ).

اثبات: اگر ضرب را را با علامت P نمایش دهیم:

.

پس از انجام عمل ضرب خواهیم داشت:

.

با استفاده از مجموع تصاعد حسابی خواهیم داشت:

.
.

دو سوی تساوی را به توان ۲ می‌رسانیم:

.

در نتیجهٔ این کار:


اثبات شد.

رابطه‌های دیگر[ویرایش]

چگونه جملهٔ بین دو جمله را پیدا کنیم؟
در اینجا می‌خواهیم جملهٔ بین یعنی x را بدست آوریم:

برای این کار از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Geometric progression»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۹ اوت ۲۰۱۱).

پیوند به بیرون[ویرایش]