دنباله

برای دیگر کاربردها، دنباله (ابهام‌زدایی) را ببینید.

یک دنباله (به انگلیسی: Sequence) در ریاضیات، یک گردآوری شمارا از اشیا است که در آن تکرار مجاز است و ترتیب مهم است. مشابه یک مجموعه، دنباله شامل عضو است (که عنصر یا عبارت نیز نامیده می‌شود). تعداد اعضا (شاید نامتناهی) طول دنباله نامیده می‌شود. برخلاف یک مجموعه، عناصر مشابه می‌توانند چندین بار در محل‌های مختلف یک دنباله پدیدار شوند، و ترتیب آن‌ها اهمیت دارد.

از دیدگاه صوری، یک دنباله به صورت یک تابع تعریف می‌شود که دامنه آن یا مجموعه‌ای از اعداد طبیعی است (برای دنباله‌های نامتناهی) یا اینکه مجموعه‌ای از اولین n عدد طبیعی است (برای یک دنباله متناهی با طول n).

یک دنباله نامتناهی از اعداد حقیقی (به‌رنگ آبی). این دنباله نه صعودی است و نه نرولی، نه همگرا است و نه کوشی، ولی کران‌دار است.

گاهی، به فراخور نیاز، نام دنباله تغییر می‌یابد، به عنوان مثال در نظریه تحلیلی اعداد، به دنباله‌ها، تابع حسابی می‌گویند.

تعریف دنباله

دنباله، تابعی است که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی یا قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد.

$f:\mathbb {N} \to A$

اگر دامنه دنباله قطعه‌ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد، دنباله را متناهی می‌گوییم و اگر دامنه دنباله خود مجموعه اعداد طبیعی یا زیرمجموعه‌ای نامتناهی از آن باشد، دنباله را نامتناهی می‌گوییم.

به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج کوچک‌تر مساوی ۱۰ یک دنباله متناهی است چرا که دامنه آن قطعه‌ای از مجموعه اعداد طبیعی یعنی

$\mathbb {N} _{1}0=\{2,4,6,8,10\}$

است و دنباله اعداد زوج دنباله‌ای نامتناهی است چرا که دامنه آن خود مجموعه اعداد طبیعی است.

برای مشخص کردن یک دنباله مانند هر تابع دیگر، باید دامنه و ضابطه آن را مشخص کرد. ضابطه یک دنباله را در اصطلاح جمله عمومی آن دنباله می‌گوییم. اگر f یک دنباله باشد جمله عمومی آن را با {(f(n} یا به صورتی معمول‌تر به صورت {f_n} نشان می‌دهیم.

به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج را به این صورت

$\{f_{n}\}=\{2n\}$

نشان می‌دهیم. همچنین برای نمایش مقدار دنباله f به ازای عدد طبیعی از نماد (f(n یا معمولاً از نماد f_n استفاده می‌کنیم.

به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج داریم:

$f_{1}=2,f_{2}=4,...,f_{n}=2n$

مفهوم دنباله

مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید:

$\mathbb {N} _{e}=\{2,4,6,8,...,2n,...\}$

اولین عضو این مجموعه عدد ۲ است و n امین عضو آن ۲n است.

حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید:

$\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,...,n,...\}$

با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که هر عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.

به عبارت دقیقتر می‌توان تابع $f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} _{e}$ را با ضابطه $\forall n\in \mathbb {N} :f(n)=2n$ تعریف کرد. اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب بنویسیم خواهیم داشت:

$f=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),...,(n,2n),...\}$

متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، و هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند.

حال در مثالی دیگر تابع $g(x)=(x-3)^{2}+1$ را در نظر بگیرید. بیاید به جای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:

$g(1)=5,g(2)=2,g(3)=1,g(4)=2,...$

مشاهده می‌کنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان متغیر دریافت می‌کند و آن را به یک عدد دیگر نسبت می‌دهد.

نمونه‌های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع f(n)=n^۲ یا $f(n)={\sqrt {n}}$، که در آن‌ها n عددی طبیعی است.

به چنین توابعی که از از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر تعریف می‌شوند دنباله می‌گوییم.

در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد ۲ از برد تابع را جمله اول، عدد ۴ را جمله دوم و به همین ترتیب عدد ۲n را جمله n ام دنباله می‌گوییم. همین شیوه برای سایر دنباله‌ها نیز اعمال می‌شود.

به عبارت دقیق تر اگر (f(n ضابطه یک دنباله باشد جمله k ام این دنباله را (f(k تعریف می‌کنیم.

در یک دنباله، اعداد طبیعی در دامنه به گونه‌ای به اعضای برد متناظر می‌شوند که عدد طبیعی متناظر شده بیانگر شماره آن جمله در برد باشد.

به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد ۱ در دامنه به عدد ۲در برد که اولین جمله دنباله‌است متناظر می‌شود و عدد ۱۰ از دامنه به عدد ۲۰ از برد که جمله دهم است متناظر می‌شود و به همین ترتیب عدد n در دامنه به عدد ۲n از برد که جمله n ام است متناظر می‌شود.

دنباله حقیقی

دنباله {f_n} را دنباله حقیقی می‌گویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد.

به عنوان مثال دنباله

$\{a_{n}\}=\{{\frac {n+3}{2n-1}}\}$

دنباله‌ای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.

• لازم به توضیح است معمولاً منظور از دنباله، دنباله‌ای حقیقی است.

نمودار یک دنباله

از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه اعداد طبیعی است می‌توان دنباله را به‌وسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام می‌شود. در یک روش می‌توان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر می‌توان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح می‌دهیم.

به عنوان مثال می‌خواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:

به‌وسیله رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی

برای این منظور محور افقی را برای متغیر انتخاب کرده و محور عمودی را برای نمایش تغییرات جملات دنباله استفاده می‌کنیم.

به‌وسیله رسم نمودار روی محور اعداد

برای این منظور روی محور اعداد مقدار جملات دنباله را یافته و شماره جمله را در بالا آن می‌نویسیم.

جمله عمومی یک دنباله

همان‌طور که گفته شد یک دنباله تابعی با دامنه مجموعه اعداد طبیعی است پس برای دنباله‌ها در حالت کلی می‌توان ضابطه تعیین کرد که به ضابطه یک دنباله جمله عمومی آن دنباله می‌گویند.

جمله عمومی یک دنباله به منزله یک قانون است که به‌وسیله آن هر عضو از دامنه (مجموعه اعداد طبیعی) به یک عضو از مجموعه برد متناظر می‌شود و به ازای هر مقدار از متغیر n، جملات دنباله را تولید می‌کند.

به عنوان مثال جمله عمومی دنباله اعداد طبیعی زوج به صورت {۲n} است که همانند ضابطه تابع به‌وسیله آن می‌توان با قرار دادن هر n طبیعی جمله n ام دنباله را بدست آورد.

البته لازم است ذکر شود جمله عمومی همه دنباله‌ها را نمی‌توان تعیین کرد.

به عنوان مثال تاکنون جمله عمومی برای دنباله اعداد اول تعیین نشده‌است. همچنین ممکن است یک سری از اعداد را به عنوان جملات دنباله انتخاب نمود که نتوان میان آن‌ها رابطه‌ای برقرار نمود و جمله عمومی برای آن‌ها نوشت. حال ممکن است این سؤال پیش بیاید که آیا با در اختیار داشتن جملات یک دنباله می‌توان جمله عمومی آن را تعیین کرد؟

پاسخ را با یک مثال بررسی می‌کنیم. دنباله زیر را در نظر بگیرید:

$\{t_{n}\}=\{3,5,7,...\}$

می‌خواهیم جمله عمومی این دنباله را با توجه به جملاتش تعیین کنیم. با مشاهدهٔ جملات ممکن است حدس شما این باشد که این دنباله، دنباله اعداد طبیعی فرد بزرگ‌تر از یک است و جمله عمومی آن را می‌توان به این صورت نوشت:

$\{t_{n}\}=\{2n+1\}$

اما این ممکن است یک جمله عمومی برای این دنباله باشد. ممکن است جملات دنباله در ادامه به این روال پیش نروند و جمله چهارم این دنباله عددی چون ۹ نباشد!

چرا که ما از جمله سوم به بعد دنباله هیچ اطلاعی نداریم و هر عدد دیگری نیز می‌تواند باشد!

به عنوان مثال جمله عمومی دنباله فوق را می‌توان به این صورت نوشت:

$\{a_{n}\}=\{(n-1)(n-2)(n-3)+2n+1\}$

با نوشتن جملات این دنباله داریم:

$\{a_{n}\}=\{3,5,7,15,...\}$

مشاهده می‌کنید جملات این دنباله تا جمله سوم همانند دنباله {t_n} است ولی از جمله سوم به بعد مانند آن دنباله عمل نمی‌کند.

پس همواره از روی جملات یک دنباله نمی‌توان جمله عمومی آن را به درستی تعیین کرد. اما معمولاً برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله با توجه به جملات آن، ساده‌ترین حالت را در نظر می‌گیریم؛ لذا جمله عمومی

$\{t_{n}\}=\{2n+1\}$

برای این دنباله و زودتر به ذهن خطور می‌کند.

انواع دیگر از تصاعد یا دنباله ها

دنباله‌های هستند که قدر نسبت آنها در nاُمین مرحله از تفاضل‌گیری حاصل می‌گردد.

به‌طور مثال دنباله، … ،۳۰-،۱۶-،۱-،۰٬۱۲٬۱۰

که قدر نسبت آن (d)، در سومین مرحله از تفاضل‌گیری حاصل می‌شود.

دنباله، با ویژگی قدر نسبت در سومین تفاضل

۳۸-

۳۰-

۱۶-

۱-

۱۰

۱۲

۰

حاصل اولین مرحله از تفاضل‌گیری

۸-

۱۴-

۱۵-

۱۱-

۲-

۱۲

حاصل دومین مرحله از تفاضل‌گیری

۶

۱

۴-

۹-

۱۴-

حاصل سومین مرحله از تفاضل‌گیری، (d)

۵

۵

۵

۵

از آنجایی که شکل کلی جمله‌های این گونه از دنباله‌ها معادله درجه سوم می‌باشد، لذا برای تعیین جمله‌های آن از روش ماتریس و کرامر، برای حل (دستگاه چهار معادله، چهار مجهول) استفاده می‌شود. در زیر فرمولی کلی برای تعیین جمله‌ها، و نیز محاسبه حاصل جمع جمله‌ها، "سری هاً در این نوع از دنباله‌ها ارائه می‌شود.

فرمول کلی برای محاسبه حاصل جمع جمله‌ها «سری ها»، در دنباله‌های با ویژگی تفاضل‌گیری چند مرتبه ای (مرحله ای) برای بدست آمدن مقدار «قدر نسبت»، بر اساس مجموعه اعداد «استرلینگ نوع اول».

---

$\sum _{t=1}^{t}(a_{f})_{t}=(a_{1})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1,f=1}^{n,k=(f-0)}[s(n,k)*t^{(f-0)}]\displaystyle }{(f-0)!}}{\Biggr )}+(a_{2})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1,f=2}^{n,k=(f-1)}[s(n,k)*t^{(f-1)}]\displaystyle }{(f-1)!}}{\Biggr )}+(a_{3})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1,f=3}^{n,k=(f-2)}[s(n,k)*t^{(f-2)}]\displaystyle }{(f-2)!}}{\Biggr )}+...+(a_{f})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1,f=f}^{n,k=(f-(f-1))}[s(n,k)*t^{(f-(f-1))}]\displaystyle }{(f-(f-1))!}}{\Biggr )}$ شکل اصلاح شده فرمول فوق، با استفاده از نماد سیگمای تو در تو (دوبل) بشکل زیر خواهد بود.

$\sum _{t=1}^{t}(a_{f})_{t}=(a_{1})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1}^{n,k=(f-0)}\sum _{f=1}^{(f-0)}s(n,k)*t^{(f-0)}\displaystyle }{(f-0)!}}{\Biggr )}+(a_{2})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1}^{n,k=(f-1)}\sum _{f=2}^{(f-1)}s(n,k)*t^{(f-1)}\displaystyle }{(f-1)!}}{\Biggr )}+(a_{3})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1}^{n,k=(f-2)}\sum _{f=3}^{(f-2)}s(n,k)*t^{(f-2)}\displaystyle }{(f-2)!}}{\Biggr )}+...+(a_{f})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1}^{n,k=[f-(f-1)]}\sum _{f=f}^{[f-(f-1)]}s(n,k)*t^{[f-(f-1)]}\displaystyle }{[f-(f-1)]!}}{\Biggr )}$

در این فرمول نمادهای $(t,f,a)$ بترتیب (نماد دنباله "a"، مرتبه دنباله "floor"، تعداد جمله‌های حاصل جمع "time" از ابتدای دنباله) و $s(n,k)$ اعداد استرلینگ نوع اول می‌باشند. (به دلیل تشابه نمادها در دنباله‌ها با نمادهای "مجموعه استرلینگ $s(n,k)$"، تغییراتی در نماد دنباله‌ها اعمال گردیده‌است).

بطور مثال، فرمول عمومی برای محاسبه حاصل جمع $(t)$ جمله اول از دنباله $(a_{7})_{t}$ و مثالی برای آن، از دنباله $(a_{7})_{8}$ بشرح زیر است.

$\sum _{t=1}^{t}(a_{7})_{t}=(a_{1})_{1}{\Biggl (}{\frac {720t-1764t^{2}+1624t^{3}-735t^{4}+175t^{5}-21t^{6}+t^{7}\displaystyle }{7!}}{\Biggr )}+(a_{2})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle -120t+274t^{2}-225t^{3}+85t^{4}-15t^{5}+t^{6}\displaystyle }{6!}}{\Biggr )}+(a_{3})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle 24t-50t^{2}+35t^{3}-10t^{4}+t^{5}\displaystyle }{5!}}{\Biggr )}+(a_{4})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle -6t+11t^{2}-6t^{3}+t^{4}\displaystyle }{4!}}{\Biggr )}+(a_{5})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle 2t-3t^{2}+t^{3}\displaystyle }{3!}}{\Biggr )}+(a_{6})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle -t+t^{2}\displaystyle }{2!}}{\Biggr )}+(a_{7})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle t\displaystyle }{1!}}{\Biggr )}$بطور مثال: دنباله، $\{-1,-24,-38,47,516,2029,5861,14202,...\}$ در "۶" مرتبه از تفاضل‌گیری متوالی، مقدار قدر نسبت "۶۰" حاصل می‌گردد؛ لذا، آنرا دنباله مرتبه "۷" می‌نامیم.

محاسبه حاصل جمع هشت $\{t=8\}$ جمله اول از دنباله مرتبه "۷" فوق با استفاده از فرمول کلی، بصورت زیر می‌باشد.$\sum _{t=1}^{8}(a_{7})_{8}=60{\Biggl (}{\frac {720*8-1764*8^{2}+1624*8^{3}-735*8^{4}+175*8^{5}-21*8^{6}+8^{7}\displaystyle }{7!}}{\Biggr )}+180{\Biggl (}{\frac {\textstyle -120*8+274*8^{2}-225*8^{3}+85*8^{4}-15*8^{5}+8^{6}\displaystyle }{6!}}{\Biggr )}+195{\Biggl (}{\frac {\textstyle 24*8-50*8^{2}+35*8^{3}-10*8^{4}+8^{5}\displaystyle }{5!}}{\Biggr )}+90{\Biggl (}{\frac {\textstyle -6*8+11*8^{2}-6*8^{3}+8^{4}\displaystyle }{4!}}{\Biggr )}+9{\Biggl (}{\frac {\textstyle 2*8-3*8^{2}+8^{3}\displaystyle }{3!}}{\Biggr )}+(-23){\Biggl (}{\frac {\textstyle -8+8^{2}\displaystyle }{2!}}{\Biggr )}+(-1){\Biggl (}{\frac {\textstyle 8\displaystyle }{1!}}{\Biggr )}=22592$ $\sum _{t=1}^{t=8}(a_{7})_{t}=(-1)+(-24)+(-38)+47+516+2029+5861+14202=22592$

در فرمول‌های بالا، ضرایب هر یک از عبارت‌های کسری، اولین جمله ی، دنباله‌های ایجاد شده از تفاضل‌گیری‌های متوالی برای حصول به مقدار «قدر نسبت» می‌باشند.

---

رابطه بازگشتی و دنباله بازگشتی

به دنباله اعداد زوج دقت کنید:... ,۲٬۴٬۶٬۸٬۱۰٬۱۲

با کمی دقت در می‌یابید که برای بدست آوردن هر جمله کافی است جمله قبل را با عدد دو جمع کنید. به عنوان مثال برای بدست آوردن جمله پنجم(۱۰) کافی است جمله چهارم(۸) را با عدد دو جمع کنید. به این رابطه که بین جملات این دنباله برقرار است رابطه بازگشتی می‌گوییم.

تعریف

در بسیاری از دنباله‌ها بین هر جمله و جملات ماقبل یک رابطه‌ای وجود دارد که به‌وسیله آن می‌توان جملات بعدی را تعیین نمود. به چنین رابطه‌ای، رابطه بازگشتی می‌گوییم و به دنباله‌هایی با این رابطه، دنباله بازگشتی می‌گوییم.

از معروف‌ترین این دنباله‌ها می‌توان به دنباله فیبوناتچی و دنباله لوکا اشاره کرد.

به عنوان مثال دنباله فیبوناتچی دارای چنین رابطه‌ای است که به‌وسیله آن مشخص می‌شود:

$F_{1}=F_{2}=1,\forall n>2:F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

که جملات آن به این صورت است:... ,۱٬۱٬۲٬۳٬۵٬۸٬۱۳٬۲۱

مشاهده می‌شود برای بدست آوردن هر جمله از جمله دوم به بعد کافی است دو جمله ماقبل آن جمله را با هم جمع کنیم. مثلاً برای محاسبه جمله نهم داریم:

$F_{9}=F_{8}+F_{7}=21+13=34$

یکنوایی دنباله‌ها

دنباله {a_n} را:

• صعودی (نا نزولی) می‌گوییم هرگاه

$a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...$

یا به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}\geq a_{n}$

همچنین اگر جملات دنباله همگی مثبت باشند صعودی بودن دنباله را می‌توان با شرط زیر بیان کرد:

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1$

• نزولی (ناصعودی) گوییم هرگاه

$a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq ...$

یا به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}\leq a_{n}$

همچنین اگر جملات دنباله همگی مثبت باشند نزولی بودن دنباله را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq 1$

دنباله صعودی یا نزولی را یکنوا می‌گوییم.

همچنین دنباله {a_n} را اکیداً صعودی می‌گوییم هرگاه برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}>a_{n}$

و دنباله را اکیداً نزولی می‌گوییم هرگاه

$a_{n+1}<a_{n}$

یک دنباله را اکیداً یکنوا می‌گوییم هرگاه اکیداً صعودی یا نزولی باشد.

حد دنباله

از آنجا که دنباله نیز تابع می‌باشد می‌توان حد آن را نیز بررسی کرد که برای اطلاع از نحوه تعریف حد دنباله‌ها و محاسبه آن‌ها می‌توانید به مقاله حد دنباله رجوع کنید.

دنبالهٔ کشی

دنباله‌ای را کشی نامیم که حد فاصلهٔ نقاط آن پس از یک عنصر خاص دنباله به صفر میل کند. به بیان ریاضی: به ازای هر عدد مثبت حقیقی r، وجود داشته باشد عدد طبیعی N به‌طوری‌که به ازای هر m و n طبیعی بزرگتر از N، فاصله عضو nم و mم دنباله کوچکتر از r باشد.

جستارهای وابسته

• تصاعد حسابی
• تصاعد هندسی
• حد دنباله
• دنباله همگرا
• دنباله واگرا
• سری
• دنباله فیبوناتچی
• عدد مثلثی
• مربع کامل
• اعداد چند ضلعی
• نظریه نامتغیر

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Sequence». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۷ ژوئیه ۲۰۲۰.

• حسین انصاری-سیامک قادری (۱۳۸۲)، ریاضیات (۲)، تهران: انتشارات مبتکران، شابک ۹۶۴-۴۸۶-۵۱۳-۸
• ریچارد سیلورمن (۱۳۸۵)، حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی جدید (جلد اول)، ترجمهٔ دکتر علی اکبر عالم زاده، تهران: انتشارات علمی فنی، شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۶-۸