دنباله کوشی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
(الف) نمودار یک دنبالهٔ کوشی که با رنگ آبی نمایش داده شده است. اگر فضایی که دنباله در آن است کامل باشد، مقصد نهایی این دنباله (حد آن) وجود خواهد داشت.
(ب) یک دنبالهٔ غیر کوشی. عناصر این دنباله با پیشرفت آن اکیداً به هم نزدیک نمی‌شوند.

در ریاضیات ٬ دنبالۀ کوشی دنباله ای است که جملات آن با جلو رفتن دنباله به هم نزدیک‌تر و نزدیک‌تر می‌شوند.

در اعداد حقیقی[ویرایش]

دنبالۀ یک دنبالۀ کوشی است اگر برای هر عدد مثبت دلخواه ε ٬ یک N صحیح وجود داشته باشد که برای همه ی m ،n>N داشته باشیم:

در فضای متریک[ویرایش]

برای تعریف دنباله کوشی در یک فضای متریک ٬ را با فاصله در فضای متریک ٬یعنی جایگزین می‌کنیم:

بر روی یک فضای متریک داده شدۀ (X، d) ٬ دنبالۀ یک دنباله کوشی است اگر برای هر عدد مثبت دلخواه ε ٬ یک N صحیح وجود داشته باشد که برای همه ی m ،n>N داشته باشیم:

تمامیت فضاهای متریک[ویرایش]

یک فضای متریک که در آن هر دنبالۀ کوشی به عضوی از همان فضا همگرا شود کامل است. برای مثال ٬می‌توان ثابت کرد که اعداد حقیقی با فرض همان قدر مطلق تفاضب دو عدد به عنوان فاصله ٬ کامل است و به عکس ٬ اعداد گویا کامل نیستند. (برای همان فاصلۀ یاد شده برای اعداد حقیقی)

منابع[ویرایش]

  • Spivak، Michae. Calculus. 1994.