دنباله کوشی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
(الف) نمودار یک دنبالهٔ کوشی (x_n) که با رنگ آبی نمایش داده شده است. اگر فضایی که دنباله در آن است کامل باشد، مقصد نهایی این دنباله (حد آن) وجود خواهد داشت.
(ب) یک دنبالهٔ غیر کوشی. عناصر این دنباله با پیشرفت آن اکیداً به هم نزدیک نمی‌شوند.

در ریاضیات ٬ دنباله‌ی کوشی دنباله ای است که جملات آن با جلو رفتن دنباله به هم نزدیک‌تر و نزدیک‌تر می‌شوند.

در اعداد حقیقی[ویرایش]

دنباله‌ی x_1, x_2, x_3, \ldots یک دنباله‌ی کوشی است اگر برای هر عدد مثبت دلخواه ε ٬ یک N صحیح وجود داشته باشد که برای همه ی m ،n>N داشته باشیم:

|x_m - x_n| <\varepsilon,

در فضای متریک[ویرایش]

برای تعریف دنباله کوشی در یک فضای متریک ٬|x_m - x_n| را با فاصله در فضای متریک ٬یعنی d(x_m, x_n) جایگزین می‌کنیم:

بر روی یک فضای متریک داده شده‌ی (X، d) ٬ دنباله‌ی x_1, x_2, x_3, \ldots یک دنباله کوشی است اگر برای هر عدد مثبت دلخواه ε ٬ یک N صحیح وجود داشته باشد که برای همه ی m ،n>N داشته باشیم:
d(x_m, x_n) <\varepsilon,

تمامیت فضاهای متریک[ویرایش]

یک فضای متریک که در آن هر دنباله‌ی کوشی به عضوی از همان فضا همگرا شود کامل است. برای مثال ٬می‌توان ثابت کرد که اعداد حقیقی با فرض همان قدر مطلق تفاضب دو عدد به عنوان فاصله ٬ کامل است و به عکس ٬ اعداد گویا کامل نیستند. (برای همان فاصله‌ی یاد شده برای اعداد حقیقی)

منابع[ویرایش]

  • Spivak، Michae. Calculus. 1994.