تصاعد حسابی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات تصاعد حسابی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت، مثلاً باشد. به عدد ثابت قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، … یک تصاعد حسابی از اعداد با قدر نسبت ۲ می‌باشد.

اگر جمله اول یک تصاعد حسابی و قدر نسبت آن باشد آنگاه جملهٔ ام این تصاعد برابر خواهد بود با

.

در حالت کلی رابطهٔ تصاعد حسابی برای جمله‌های ام و ام خواهد بود:

مقدار می‌تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن تصاعد به سمت بینهایت مثبت میل می‌کند و در صورت منفی بودن تصاعد به سوی منفی بینهایت می‌رود.

مجموع[ویرایش]

مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ تصاعد حسابی عبارت است از:

با جمع طرفین دو عبارت فوق:

در نتیجه:

برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود:

ضرب[ویرایش]

اگر در نظر بگیریم که جملهٔ اول یک تصاعد حسابی نام دارد و قدر نسبت تصاعد است؛ آنگاه حاصل ضرب جمله‌های آن تصاعد در یکدیگر، عبارت است از:

که در آن نماد افزایش فاکتوریل و نماد تابع گاما است. (هشدار: فرمول بدست آمده به ازای کوچکتر مساوی صفر، نادرست خواهد بود)

فرمول بدست آمده در بالا، حالت کلی رابطهٔ حاصل ضرب است که آن را با فاکتوریل نمایش می‌دهیم و در صورتی که شروع ضرب از بجای یک از عدد دلخواه باشد:

در صورتی که و اعداد طبیعی باشند، حاصل ضرب عبارت خواهد بود از:

برای درک بهتر مطلب، مثال گفته شده در بالا را در نظر بگیرید، که در آ«جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه حاصل ضرب ۵۰ جملهٔ اول برابر خواهد بود با:

نمونهٔ دیگر

تصاعد حسابی زیر را در نظر بگیرید:

حاصل ضرب سه جملهٔ اول این تصاعد عبارت است از:

حال از روی ظاهر عبارت بالا می‌توان پاسخ را برای حدس زد:

مطالب گفته شده در بالا، به عنوان اثبات قابل پذیرش نیست و تنها برای درک بهتر بیان شد.

منابع[ویرایش]

  • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 

پیوند به بیرون[ویرایش]