تصاعد حسابی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات تصاعد حسابی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت، مثلاً d باشد. به عدد ثابت d قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، … یک تصاعد حسابی از اعداد با قدر نسبت ۲ می‌باشد.

اگر جمله اول یک تصاعد حسابی a_1 و قدر نسبت آن d باشد آنگاه جملهٔ i ام این تصاعد برابر خواهد بود با

a_i=a_1+(i-1)d.

در حالت کلی رابطهٔ تصاعد حسابی برای جمله‌های n ام و m ام خواهد بود:

a_n=a_m+(n-m)d

مقدار d می‌تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن تصاعد به سمت بینهایت مثبت میل می‌کند و در صورت منفی بودن d تصاعد به سوی منفی بینهایت می‌رود.

مجموع[ویرایش]

مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ تصاعد حسابی عبارت است از:

 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
 S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.

با جمع طرفین دو عبارت فوق:

\ 2S_n=n(a_1+a_n).

در نتیجه:

 S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}.

برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود:

S_{50} = \frac{50}{2}[2(3) + (49)(5)] = 6,275.

ضرب[ویرایش]

اگر در نظر بگیریم که جملهٔ اول یک تصاعد حسابی a_1 نام دارد و قدر نسبت تصاعد d است؛ آنگاه حاصل ضرب جمله‌های آن تصاعد در یکدیگر، عبارت است از:

a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right)}{\Gamma \left(a_1 / d \right)},

که در آن x^{\overline{n}} نماد افزایش فاکتوریل و \Gamma نماد تابع گاما است. (هشدار: فرمول بدست آمده به ازای a_1/d کوچکتر مساوی صفر، نادرست خواهد بود)

فرمول بدست آمده در بالا، حالت کلی رابطهٔ حاصل ضرب 1 \times 2 \times \cdots \times n است که آن را با n! فاکتوریل نمایش می‌دهیم و در صورتی که شروع ضرب از بجای یک از عدد دلخواه m باشد:

m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!

در صورتی که m و n اعداد طبیعی باشند، حاصل ضرب عبارت خواهد بود از:

\frac{n!}{(m-1)!}.

برای درک بهتر مطلب، مثال گفته شده در بالا را در نظر بگیرید، که در آ«جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه حاصل ضرب ۵۰ جملهٔ اول برابر خواهد بود با:

P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right)}{\Gamma \left(3 / 5 \right)} \approx 3.78438 \times 10^{98}
نمونهٔ دیگر

تصاعد حسابی زیر را در نظر بگیرید:

a,(a+d),(a+2d),.................(a+(n-1)d)

حاصل ضرب سه جملهٔ اول این تصاعد عبارت است از:

a(a+d)(a+2d)

=(a^{2}+ad)(a+2d) =a^{3}+3a^{2}d+2ad^{2}

حال از روی ظاهر عبارت بالا می‌توان پاسخ را برای n حدس زد:

 a^{n} + na^{n-1} d^{n-2} + (n-1)a^{n-2}d^{n-1}

مطالب گفته شده در بالا، به عنوان اثبات قابل پذیرش نیست و تنها برای درک بهتر بیان شد.

منابع[ویرایش]

  • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 

پیوند به بیرون[ویرایش]