فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی

در ادامه فهرستی از انتگرال نامعین توابع وارون مثلثاتی نوشته شده‌است، برای دیدن فهرست کامل صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

هشدار:

• C همان ثابت انتگرال‌گیری است که تنها زمانی مقدار دقیق آن معلوم می‌شود که داده‌ای از مقدار نهایی انتگرال در دسترس باشد؛ در غیر این صورت ثابت انتگرال‌گیری هر عددی می‌تواند باشد.
• برای هر رابطهٔ نوشته شده برای توابع وارون مثلثاتی، می‌توان رابطهٔ مشابهی در میان انتگرال توابع وارون هذلولی پیدا کرد.

تابع وارون سینوس یا Arcsine

$\int \arcsin(a\,x)\,dx=x\arcsin(a\,x)+{\frac {\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}{a}}+C$

$\int x\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arcsin(a\,x)}{2}}-{\frac {\arcsin(a\,x)}{4\,a^{2}}}+{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{4\,a}}+C$

$\int x^{2}\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arcsin(a\,x)}{3}}+{\frac {\left(a^{2}\,x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C$

$\int x^{m}\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arcsin(a\,x)}{m+1}}\,-\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

$\int \arcsin(a\,x)^{2}\,dx=-2\,x+x\arcsin(a\,x)^{2}+{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)}{a}}+C$

$\int \arcsin(a\,x)^{n}\,dx=x\arcsin(a\,x)^{n}\,+\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arcsin(a\,x)^{n-2}\,dx$

$\int \arcsin(a\,x)^{n}\,dx={\frac {x\arcsin(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,+\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arcsin(a\,x)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)$

تابع وارون کسینوس یا Arccosine

$\int \arccos(a\,x)\,dx=x\arccos(a\,x)-{\frac {\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}{a}}+C$

$\int x\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arccos(a\,x)}{2}}-{\frac {\arccos(a\,x)}{4\,a^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{4\,a}}+C$

$\int x^{2}\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arccos(a\,x)}{3}}-{\frac {\left(a^{2}\,x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C$

$\int x^{m}\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arccos(a\,x)}{m+1}}\,+\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

$\int \arccos(a\,x)^{2}\,dx=-2\,x+x\arccos(a\,x)^{2}-{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)}{a}}+C$

$\int \arccos(a\,x)^{n}\,dx=x\arccos(a\,x)^{n}\,-\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arccos(a\,x)^{n-2}\,dx$

$\int \arccos(a\,x)^{n}\,dx={\frac {x\arccos(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,-\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arccos(a\,x)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)$

تابع وارون تانژانت یا Arctangent

$\int \arctan(a\,x)\,dx=x\arctan(a\,x)-{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C$

$\int x\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arctan(a\,x)}{2}}+{\frac {\arctan(a\,x)}{2\,a^{2}}}-{\frac {x}{2\,a}}+C$

$\int x^{2}\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arctan(a\,x)}{3}}+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}-{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C$

$\int x^{m}\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arctan(a\,x)}{m+1}}-{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}\,x^{2}+1}}\,dx\quad (m\neq -1)$

تابع وارون کتانژانت یا Arccotangent

$\int \operatorname {arccot}(a\,x)\,dx=x\operatorname {arccot}(a\,x)+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C$

$\int x\operatorname {arccot}(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccot}(a\,x)}{2}}+{\frac {\operatorname {arccot}(a\,x)}{2\,a^{2}}}+{\frac {x}{2\,a}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arccot}(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccot}(a\,x)}{3}}-{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}+{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C$

$\int x^{m}\operatorname {arccot}(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccot}(a\,x)}{m+1}}+{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}\,x^{2}+1}}\,dx\quad (m\neq -1)$

تابع وارون سکانت یا Arcsecant

$\int \operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx=x\operatorname {arcsec}(a\,x)-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C$

$\int x\operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arcsec}(a\,x)}{2}}-{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arcsec}(a\,x)}{3}}\,-\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,-\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,C$

$\int x^{m}\operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcsec}(a\,x)}{m+1}}\,-\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

تابع وارون کسکانت یا Arccosecant

$\int \operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx=x\operatorname {arccsc}(a\,x)+{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C$

$\int x\operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccsc}(a\,x)}{2}}+{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccsc}(a\,x)}{3}}\,+\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,C$

$\int x^{m}\operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccsc}(a\,x)}{m+1}}\,+\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «List of integrals of inverse trigonometric functions». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱ سپتامبر ۲۰۱۱.