نظریه مجموعه‌ها

نظریهٔ مجموعه‌ها شالودهٔ بنیادین و سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریف‌های دقیق جمیع مفاهیم ریاضی، مبتنی بر نظریهٔ مجموعه‌هاست. گذشته از این، روش‌های استنتاج ریاضی با استفاده از ترکیبی از استدلال‌های منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریهٔ مجموعه‌ها، زبان مشترکی است که ریاضیدانان در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید با مفاهیم اساسی و زبان نظریهٔ مجموعه‌ها آشنا شود.

تاریخچه

نظریه مجموعه‌ها در اواخر قرن نوزدهم به طور عمده توسط جرج کانتور بنیان گذاشته شد. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلال‌های جدید و متهورانهٔ خود را منتشر کرد، اهمیت آن‌ها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه بعدها، تقریباً در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تأثیری عمیق بر گسترش آن‌ها داشت. به‌طوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید و ریاضیدانان سعی کردند مفاهیم ریاضی را بر اساس نظریهٔ مجموعه‌ها تعریف کنند. به عنوان مثال می‌توان به تعریف اعداد طبیعی توسط پئانو اشاره کرد. همچنین توسعه بعضی از نظام‌های ریاضی، از قبیل توپولوژی، اساساً به ابزار نظریهٔ مجموعه‌ها وابسته‌است. از این‌ها مهم‌تر، نظریهٔ مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داده‌است که به تمام شاخه‌های ریاضیات، وضوح و دقتی تازه بخشیده‌است.

هنگامی که می‌خواهیم با مجموعه‌ها آشنا شویم می‌توانیم آن‌ها را به سه صورت مورد مطالعه قرار دهیم: مطالعهٔ مجموعه‌ها در حد آشنایی عمومی، که برای مطالعهٔ علوم پایه لازم است؛ مطالعهٔ مجموعه‌ها به روش طبیعی و مطالعهٔ مجموعه‌ها به روش بنداشتی. در نظریهٔ مجموعه‌ها دو واژهٔ طبیعی و بنداشتی دو واژهٔ متضاد هم هستند.

نظریهٔ طبیعی مجموعه‌ها

نوشتار اصلی: نظریه طبیعی مجموعه‌ها

مطالعهٔ مجموعه‌ها به صورتی طبیعی به عنوان نظریه طبیعی مجموعه‌ها یا Naive set theory است و این همان نظریه‌ای است که در آغاز پیدایش نظریهٔ مجموعه‌ها توسط جرج کانتور مطرح گردید. اما در ادامه، این نظریه درگیر اشکالات و پارادکس‌هایی همچون پارادکس راسل شد، و به این ترتیب نیاز به یک تغییر در نظریهٔ مجموعه‌ها احساس شد و به این ترتیب ریاضیدانانی چون ارنست زرملو سعی کردند نظریهٔ مجموعه‌ها را در قالب یک دستگاه بنداشتی ارایه کنند که این به ایجاد نظریه بنداشتی مجموعه‌ها انجامید.

نظریهٔ بنداشتی مجموعه‌ها

در نظریه بنداشتی مجموعه‌ها، مجموعه به عنوان یک مفهوم اولیه و تعریف نشده در نظر گرفته شده و با چند بنداشت به بررسی خواص مجموعه‌ها پرداخته می‌شود. هدف این نظریه جلوگیری از پارادکس‌های نظریه مجموعه‌ها است.

• بنداشت‌های مورد بررسی این نظریه عبارت‌اند از:
  • بنداشت گسترش

بنداشت گسترش نخستین بنداشت نگره بنداشتی کوده ها (Axiomatic set theory) است و گویای این است که دو کوده x و y برابرند اگر و تنها اگر اندام های (member) یکسانی داشته باشند.

• • بنداشت جداسازی

اگر x یک کوده و S یک ویژگی رایه نخست باشد آنگاه گردایه اندام های x که ویژگی S را دارند خود یک کوده است.

• • بنداشت مجموعه نامتناهی

اگر x یک کوده باشد $x\cup\{x\}$ را تالی x می نامند. بنداشت نا تهاد (infinity) می گوید کوده ای هست که در بر دارنده تهی است و اگر کودهای را در بر داشته باشد تالی ان را نیز در بر دارد.

• • بنداشت زوج‌سازی

برای هر دو کوده x و y کوده z می هستد که آنها را در بر دارد.

• • بنداشت یکاد یا اجتماع

برای هر کوده x کوده y می هستد که در بر دارنده هر اندام هر اندام x است.

• • بنداشت کوده توانی

برای هر کوده x کوده y می هستد که در بر دارنده همه زیر کوده های x، و نه هیچ کوده دیگر، می باشد. این y یکتا است. آن را توانکوده x نامیده با (P(x نشان می دهند.

• • بنداشت انتخاب
  • بنداشت بسامانی (بنياد)

هر کوده نا تهی x دارای اندامی است که هیچ اندام x را در بر ندارد.

• • بنداشت جایگزینی

زیرکوده

A زیرمجموعه B است.

کوده $A$ زیرکوده ای از کوده $B$ است هرگاه هر اندام $A$ اندام $B$ نیز باشد.

${A}\subseteq {B} :\Longleftrightarrow \forall x \left( {x} \in A \rightarrow x \in B \right)$.

در این حالت $B$ ابرکوده $A$ نامیده می‌شود.

منابع

• ریاضیات گسسته و کاربردهای آن (انگلیسی)

• Enderton, H. B. Elements of Set Theory, ۲nd edition, ACADEMIC Press, Inc., ۱۹۷۷. ISBN 7-238440-12-0
• T. Yech, Set theory, Academic Press 1978