اصل موضوع مجموعه توانی

اصل موضوع مجموعه توانی از جمله اصول مجموعه ساز در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌های تسرملو-فرانکیل است.

مقدمه

اگر {A={a,b,c یک مجموعه باشد در این صورت زیرمجموعه‌های مجموعهٔ A عبارت‌اند از:

{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},{}

حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا زیرمجموعه‌های مجموعهٔ A که در بالا فهرست شده‌اند تشکیل یک مجموعه می‌دهند؟

سعی می‌کنیم با فرض دانستن اصل موضوع زوج سازی و اصل موضوع اجتماع به این سوال پاسخ دهیم. برطبق اصل موضوع زوج سازی،{{a}},{}} و {{b}},{c}} و {{a,c}},{a,b}} و {{a,b,c}},{b,c}} همگی مجموعه‌اند و بنابر اصل موضوع اجتماع اجتماع مجموعه‌های فوق یعنی {{a}},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},{}} نیز یک مجموعه‌است که همانطور که مورد نظر ما بود مجموعه‌ای است دقیقاً شامل زیرمجموعه‌های مجموعه A.

پس در این حالت با استفاده از دو اصل موضوع از پیش پذیرفته شده و مقدماتی نشان دادیم که زیرمجموعه‌های A تشکیل مجموعه می‌دهند. به همین صورت با تعمیم روش فوق می‌توان این حکم را در مورد هر مجموعه متناهی دیگر نشان داد.

اما در مورد مجموعه‌های نامتناهی چه طور؟ مثلاً در مورد مجموعه اعداد طبیعی $\mathbb{N}$ می‌توان روش فوق را به کار برد؟

زیر مجموعه‌های $\mathbb{N}$ نامتناهی و ناشمارا می‌باشند، بنابراین استدلال فوق در مورد آنها چندان کارآمد نیست چرا که به اصول دیگری که هنوز پذیرفته شده‌است نیاز دارد. اما به هر صورت به نظر طبیعی می‌رسد که بگویم زیرمجوعه‌های اعداد طبیعی نیز تشکیل مجموعه می‌دهند.

در این مورد با سوالی کلی‌تر روبرو می‌شویم: آیا زیرمجموعه‌های هر مجموعه دلخواه تشکیل یک مجموعه می‌دهند؟

گاهی در ارتبط کار با مجموعه‌ها ممکن است نظر ما به سوی زیرمجموعه‌های یک مجموعه مفروض جلب شود و با زیرمجموعه‌های یک مجموعه بیشتر از خود آن مجموعه کار کنیم و لذا در دست داشتن مجموعه‌ای شامل همه زیرمجموعه‌های یک مجموعه دارای اهمیت است. پس پاسخ به سوالات فوق بسیار مهم است و اصل موضوع مجموعه توانی (Axiom of power set) پاسخ گوی این پرسش است.

اصل موضوع مجموعه توانی

این اصل بیان می‌کند:

$\forall A\exists \mathcal{P}:\forall C(C\subseteq A\Rightarrow C\in \mathcal{P})$

یا به عبارت دیگر برای هر مجموعه، دسته‌ای از مجموعه‌ها وجود دارد که (در میان اعضای خود) شامل همه زیرمجموعه‌های آن مجموعهٔ مورد نظر باشد.

به عبارت دیگر برای هر مجموعه دلخواه X مجموعه‌ای چون $\mathcal{P}$ وجود دارد که شامل همه زیرمجموعه‌های X است یعنی اگر $A\subseteq X$ آنگاه $A\in \mathcal{P}$

اما مجموعه $\mathcal{P}$ که در بالا معرفی شد ممکن است بیش از حد نیاز ما بزرگ باشد و به جز زیرمجموعه‌های X شامل عناصری دیگر نیز باشد.

برای رفع این مشکل و تعیین مجموعه‌ای که دقیقاً شامل زیرمجموعه‌های مجموعهٔ X باشد اصل موضوع تصریح را در مورد اعضای مجموعه $\mathcal{P}$ به کار می‌بریم و مجموعه:

$\{x\in \mathcal{P}:x\subseteq X\}$

را تعریف می‌کنیم. این مجموعه مجموعه‌ای است که دقیقاً شامل زیر مجموعه‌های X است و حال با تجدید نماد گذاری قرار می‌دهیم:

$\mbox{P(X)}=\{A:A\subseteq X\}$

و این مجموعه را مجموعه توانی X می‌نامیم و برای تاکید بستگی آن به مجموعه X آن را با (P(X نشان می‌دهیم.

اگر X مجموعه‌ای متناهی و n عضوی باشد چون تعداد زیرمجموعه‌های X برابر ۲ⁿ عدد است پس تعداد عضوهای مجموعه (P(X نیز برابر ۲ⁿ است. در تعمیم این خاصیت رابطه cardP(X)=۲^cardX را در مورد عدد اصلی یک مجموعه و مجموعه توانی متناظر با آن می‌توان بیان کرد.

جستارهای وابسته

• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع تصریح
• اصل موضوع زوج سازی
• اصل موضوع مجموعه تهی
• اصل موضوع اجتماع
• اصل موضوع بینهایت
• اصل موضوع انتخاب
• اصل موضوع جایگزینی
• نظریه مجموعه‌ها
• مجموعه توانی
• نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها
• نظریه طبیعی مجموعه‌ها

منابع

• پل ریچارد هالموس. نظریه طبیعی مجموعه‌ها. ترجمهٔ عبدالحمید دادالله. چاپ نوبت چاپ. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۷۳. ISBN 964-01-0052-8. 

• ایان استیوارت، دیوید تال. مبانی ریاضیات. ترجمهٔ محمد مهدی ابراهیمی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۷۶. ISBN 964-01-0253-9. 

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «_of_power_set Axiom of power set»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۴ آگوست ۲۰۰۷).