اصل موضوع مجموعه توانی

اصل موضوع مجموعه توانی از جمله اصول مجموعه ساز در نظریه اصل موضوعی مجموعه های تسرملو-فرانکیل است.

مقدمه

اگر {A={a,b,c یک مجموعه باشد در این صورت زیرمجموعه‌های A عبارت‌اند از:

{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},{ }

حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا زیرمجموعه ها A که در بالا فهرست شده اند تشکیل یک مجموعه می‌دهند؟

سعی می‌کنیم با فرض دانستن اصل موضوع زوج سازی و اصل موضوع اجتماع به این سوال پاسخ دهیم. برطبق اصل موضوع زوج سازی،الگو:A,{}} و B|b1=?|b2=?|b3=?|b4=?|b5=?|b6=?,{c}} و الگو:A,c,{a,b}} و الگو:A,b,c,{b,c}} همگي مجموعه‌اند و بنابر اصل موضوع اجتماع اجتماع مجموعه‌هاي فوق يعني الگو:A,{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},{ }} نيز يک مجموعه است که همانطور که مورد نظر ما بود مجموعه‌اي است دقيقاً شامل زيرمجموعه‌هاي مجموعه A.

پس در اين حالت با استفاده از دو اصل موضوع از پيش پذيرفته شده و مقدماتي نشان داديم که زيرمجموعه‌هاي A تشکيل مجموعه مي‌دهند. به همين صورت با تعميم روش فوق مي‌توان اين حکم را در مورد هر مجموعه متناهی ديگر نشان داد.

اما در مورد مجموعه‌های نامتناهی چه طور؟ مثلاً در مورد مجموعه اعداد طبیعی $\mathbb{N}$ مي‌توان روش فوق را به کار برد؟

زير مجموعه‌هاي $\mathbb{N}$ نامتناهي و ناشمارا مي باشند و لذا استدلال فوق در مورد آنها چندان کارآمد نيست چرا که به اصول ديگري که هنوز پذيرفته شده است نياز دارد. اما به هر صورت به نظر طبيعي مي رسد که بگويم زيرمجوعه هاي اعداد طبيعي نيز تشکيل مجموعه مي دهند.

در اين مورد با سوالي کلی‌تر روبرو مي‌شويم آيا زيرمجموعه‌هاي هر مجموعه دلخواه تشکيل يک مجموعه مي‌دهند؟

گاهي در ارتبط کار با مجموعه‌ها ممکن است نظر ما به سوي زيرمجموعه‌هاي يک مجموعه مفروض جلب شود و با زيرمجموعه‌هاي يک مجموعه بيشتر از خود آن مجموعه کار کنيم و لذا در دست داشتن مجموعه‌ای شامل همه زیرمجموعه‌های یک مجموعه دارای اهمیت است. پس پاسخ به سوالات فوق بسيار مهم است و اصل موضوع مجموعه تواني (Axiom of power set) پاسخ گوي اين پرسش است.

اصل موضوع مجموعه توانی

این اصل بیان می‌کند:

$\forall A\exists \mathcal{P}:\forall C(C\subseteq A\Rightarrow C\in \mathcal{P})$

یا به عبارت دیگر براي هر مجموعه، دسته‌اي از مجموعه‌ها وجود دارد که(در ميان اعضاي خود) شامل همه زيرمجموعه هاي آن مجموعه مفوض باشد.

به عبارت ديگر براي هر مجموعه دلخواه X مجموعه‌اي چون $\mathcal{P}$ وجود دارد که شامل همه زيرمجموعه‌هاي X است يعني اگر $A\subseteq X$ آنگاه $A\in \mathcal{P}$

اما مجموعه $\mathcal{P}$ که در بالا معرفي شد ممکن است بيش از حد نياز ما بزرگ باشد و بجز زيرمجموعه‌هاي X شامل عناصري ديگر نيز باشد.

براي رفع اين مشکل و تعيين مجموعه‌اي که دقيقاً شامل زيرمجموعه‌هاي مجموعه X باشد اصل موضوع تصریح را در مورد اعضاي مجموعه $\mathcal{P}$ بکار مي‌بريم و مجموعه:

$\{x\in \mathcal{P}:x\subseteq X\}$

را تعريف مي‌کنيم. اين مجموعه مجموعه‌اي است که دقيقاً شامل زير مجموعه‌هاي X است و حال با تجديد نماد گذاري قرار مي‌دهيم:

$\mbox{P(X)}=\{A:A\subseteq X\}$

و اين مجموعه را مجموعه تواني X مي‌ناميم و براي تاکيد بستگي آن به مجموعه X آن را با (P(X نشان مي‌دهيم.

اگر X مجموعه‌اي متناهی و n عضوي باشد چون تعداد زيرمجموعه‌های X برابر 2ⁿ عدد است پس تعداد عضوهاي مجموعه (P(X نيز برابر 2ⁿ است. در تعميم اين خاصيت رابطه cardP(X)=2^cardX را در مورد عدد اصلی یک مجموعه و مجموعه توانی متناظر با آن می‌توان بیان کرد.

جستارهای وابسته

• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع تصریح
• اصل موضوع زوج سازی
• اصل موضوع مجموعه تهی
• اصل موضوع اجتماع
• اصل موضوع بینهایت
• اصل موضوع انتخاب
• اصل موضوع جایگزینی
• نظریه مجموعه ها
• مجموعه توانی
• مجموعه
• نظریه اصل موضوعی مجموعه ها
• نظریه طبیعی مجموعه‌ها

منابع

• پل ریچارد هالموس. نظریه طبیعی مجموعه ها. ترجمهٔ عبدالحمید دادالله. چاپ نوبت چاپ. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1373. ISBN 964-01-0052-8. 

• ایان استیوارت، دیوید تال. مبانی ریاضیات. ترجمهٔ محمد مهدی ابراهیمی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1376. ISBN 964-01-0253-9. 

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «_of_power_set Axiom of power set»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در 24 آگوست 2007).