قضیه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

قضیه[ویرایش]

در ریاضیات، قضیه یا تئوری،گزاره ای است که بر پایه گزاره های پیشین مثل سایر قضایا یا تئوری ها،گزاره هایی که به صورت کلی و عام پذیرفته شده اند مثل "اصل موضوع"،اثبات شده است. اثبات قضیه ریاضی،استدلالی منطقی برای گزاره مطرح شده در قضیه است که در توافق با قوانین موجود در روش (سیستم) استقرایی،می باشد. اثبات تئوری اغلب برای توجیه درستی گزاره قضیه تفسیر و مطرح می شوند.با توجه به اثبات قضایای ریاضی بر اساس نیاز،مفهوم و تصور کلی یک قضیه ریاضی اساساً استقرایی است که در تضاد با مفهوم یک نظریه (قضیه) علمی - که بر اساس تجربه و آزمایش است -،میباشد. بسیاری از قضایای ریاضی گزاره های شرطی هستند.در این مورد،اثبات از نتیجه گرفته شده از فرض قضیه استنباط می شود.با توجه به تعبیر و تفسیر اثبات به عنوان توجیه یک درستی،استنتاج اغلب به منظور نتیجه لازم و ضروری فرض قضیه دیده می شود.به عبارت دیگر،استنتاج با توجه به فرضیاتی که درست هستند،بدون هیچ فرض اضافه تر،صحیح می باشد.به هر حال،گزاره های شرطی با توجه به مفاهیمی که به قوانین استنتاج و نمادهای شرطی اختصاص داده شده اند، می توانند به طور متفاوت در روش (سیستم) استقرایی تفسیر و مطرح شوند.

اگر چه آن ها می توانند به صورت کاملا نمادین نوشته شوند ، برای مثال در حساب گزاره ای قضایا اغلب در زبان طبیعی مانند انگلیسی بیان می شوند. همان اثبات درست است که به عنوان منطقی سازماندهی شده و استدلالی رسمی نوشته شده ، قصد دارد که خواننده را بر درستی گزاره فارق از هرگونه شکی متقاعد کند. این استدلال ها برای بررسی معمولا آسان تر است نسبت به آن هایی که کاملا نمادین هستند. در واقع بسیاری از ریاضیدانان که صورتی از اثبات را بیان کردند که نه تنها درستی قضیه را بیان می کند بلکه به گونه ای توضیح می دهد که چرا قضیه صحیح می باشد. در بعضی حالات یک تصویر می تواند برای اثبات یک قضیه کافی باشد. از آنجاییکه قضایا در هسته ریاضیات گنجانده شده اند ، آن ها مرکز زیبایی ریاضیات نیز شناخته می شوند . قضایا اغلب با کلماتی از جمله "بدیهی" ، "دشوار "، "عمیق" ، یا حتی "زیبا" توصیف می شود. این قضاوت های ذهنی نه تنها از شخصی به شخصی دیگر بلکه در زمان های مختلف نیز تفاوت دارد. برای مثال چنانچه یک اثبات ساده شده باشد یا قابل فهم شده باشد یک قضیه که زمانی دشوار تلقی می شد ممکن است به یک قضیه بدیهی تبدیل شود. از سوی دیگر، یک قضیه عمیق ممکن است به سادگی بیان شود، اما اثبات آن ممکن است اتصال شگفت انگیز و ظریف بین مناطق مختلف ریاضیات را شامل شود. آخرین قضیه فرما مثال خوبی برای این گونه از قضایاست.

حساب رسمی قضایا[ویرایش]

بطور منطقی بسیاری از تئوری ها به صورت مشروط نشان داده می شوند : اگر آ آنگاه ب. ب را اثبات نمی کند مگر ب نتیجه لازم برای آ باشد. در این حالت آ را فرضیه و ب را نتیجه می نامند. این قضیه یک قضیه باید با صراحت بیان شود تا به عنوان یک گزاره رسمی شناخته شود. با این وجود، نظریه ها معمولا در زبان طبیعی، و نه در یک فرم کاملا نمادین بیان می شود، با این هدف که خواننده می تواند یک گزاره رسمی تولید کند. این در ریاضیات متداول است که تعدادی از فرضیه ها را در یک زبان داده شده انتخاب کنند و اعلام کنند که این نظریه شامل تمام اظهارات قابل اثبات از این فرضیه ها می باشد. این فرضیه ها اساس بنیادین قضایا را تشکیل می دهد که اصل موضوع نامیده می شود. رشته ریاضیات به عنوان مطالعات تئوری اثبات زبان رسمی ، اصول موضوع و ساختار اثبات ها است. بعضی قضایا بدیهی هستند به این معنا که به طور واضحی از تعاریف ، اصول موضوع و سایر قضایا نتیجه گیری شده اند و نکته شگفت آوری را شامل نمی شوند. از سویی دیگر بعضی از قضایا عمیق اند زیرا ممکن است اثبات آن ها طولانی یا دشوار باشد و یا این که شامل زمینه های مختلف ریاضیات می باشد و ارتباط شگفت آوری را بین زمینه های متمایز ریاضیات را مشخص کند. همچنین یک قضیه ساده در عین حال می تواند عمیق و پیچیده باشد. قضیه آخر فرما مثال خوبی برای این گونه قضایاست. و بسیاری از نمونه های دیگر از قضایای عمیق ساده در نظریه اعداد و ترکیبیات وجود دارد. برخی قضایا اثبات های شناخته شده ای دارند که به راحتی قابل پیاده سازی نیست. برجسته ترین نمونه قضیه چهار رنگ و حدس کپلر است. هر دو قضیه طی یک جستجوی محاسباتی که بعد ها توسط یک برنامه کامپیوتری تایید شد اثبات شده اند. در ابتدا، بسیاری از ریاضیدانان این شکل از اثبات را قبول نمی کردند، اما به طور گسترده ای پذیرفته می شدند. ریاضیدان Doron Zeilberger حتی اظهار داشت که این نوع از اثبات ، اثباتی باطل است. بسیاری از قضایای ریاضی را می توان به محاسبات ساده تر کاهش داد ، از جمله چند جمله ای، مثلثاتی و هویت فوق هندسی.

اثبات پذیری و قضیه هود[ویرایش]

برای انتشار یک گزاره ریاضی به عنوان قضیه،اثبات لازم است،یعنی یک خط از دلایل با توجه به اصل موضوعه در سیستم(و سایر ، قضایای تقریبا انتشار یافته) باید برای گزاره داده شده نشان داده بشود.هر چند،اثبات تقریبا جدا از گزاره قضیه به حساب می آید. اگر چه بیش از یک اثبات ممکن است برای یک قضیه وجود داشته باشد اما یک اثبات لازم است که وضعیت گزاره به عنوان قضیه را انتشار بدهد. نظریه فیثاغورث و قانون معادله درجه دوم با تعداد بسیاری از اثبات ها می توانند عنوان قضیه را به خود بگیرند.

رابطه با نظریه های علمی[ویرایش]

قضایا در ریاضی و نظریات در علوم اساسا از نظر معرفت شناسی متفاوت هستند. یک نظریه علمی نمی تواند اثبات شود؛ صفت کلیدی آن ابطال است؛یعنی پیش بینی هایی درباره جهان طبیعی می کند که با آزمایش ها قابل آزمایش است.هرگونه عدم توافق بین پیش بینی و آزمایش،نادرستی نظریه علمی و یا حداقل محدود بودن دقت و دامنه اعتبار آن را نشان می دهد. قضایای ریاضی،به عبارتی دیگر،به طور محض چکیده ای از گزاره های صوری هستند: اثبات یک قضیه نمی تواند شامل آزمایش و سایر سندهای تجربی به همان صورت که برای اثبات نظریه های علمی به کار می رود،باشد.

با این حال،درجه هایی از تجربه گرایی و جمع آوری داده هایی که در کشف قضیه های ریاضی شرکت داشتند،وجود دارند.با انتشار یک الگو،بعضی مواقع با استفاده از کامپیوتر قدرتمند،ریاضیدان ها ممکن است ایده ای از آنچه می خواهند اثبات کنند، و در بعضی موارد،برنامه ریزی برای چگونگی راه در مورد آنچه می خواهند اثبات کنند داشته باشند.برای مثال،حدس کلتز برای شروع اعداد تا حدود 2.88 *1018 تایید شده است. فرضیه ریمن برای 10 تریلیون صفر تابع زتا تایید شده است. هیچ یک از این گزاره ها اثبات شده به حساب نمی آیند. چنین شواهدی اثبات را تشکیل نمی دهند.برای مثال،حدس مرتنز گزاره ای است درباره اعداد طبیعی که الان می دانیم غلط است اما هیچ مثال نقضی شناخته نشده است (عدد طبیعی n برای تابع M(n) که برابر ریشه دوم n است).تمام اعداد کمتر از 1014 خاصیت مرتنز را دارند و کوچکترین عددی که این خاصیت را ندارد تنها معلوم است که از تابع نمایی عدد 1.59x1040 که تقریبا برابر 10 به توان 4.3*1039 کمتر می باشد. چون تعداد ذرات در جهان به طور کل کمتر از 10 به توان 100 به حساب می آیند،امیدی نیست که یک مثال نقض با جستجوهای خسته کننده پیدا بشود. در نظر داشته باشید که کلمه نظریهدر ریاضیات نیز وجود دارد؛برای معنی کردن اصل موضوع ریاضیات،تعاریف و قضایا مثلا در قضیه گروه.چندین قضیه در علوم به ویژه فیزیک و در مهندسی وجود دارد اما انها اغلب گزاره ها و اثبات هایی دارند که در فرضیات فیزیکی و شهود نقش مهمی ایفا می کند؛قاعده کلی فیزیکی برای چنین قضایایی بر این پایه هست که خودشان باطل هستند.

واژه شناسی[ویرایش]

تعدادی از واژه های مختلف برای عبارات ریاضی وجود دارد که این واژه ها گزاره ها را بیان می کنند. استفاده از بعضی لغات ممکن است به صورت قرار دادی باشد و گاهی معانی لغات تکامل می یابد. اصل یا اصل موضوع گزاره ای است که بدون اثبات پذیرفته می شود و به عنوان اساسی برای موضوع است. از لحاظ تاریخی این به عنوان "بدیهی" در نظر گرفته شده است ، اما اخیرا آن ها فرضی در نظر گرفته می شوند که موضوع مطالعه را مشخص می کند. در هندسه کلاسیک، اصول موضوعه بیانیه های عمومی هستند در حالی که اصول موضوعه اظهاراتی در مورد اشیاء هندسی می باشد. گزاره(پیشنهاد ) یک اصطلاح عمومی است برای قضایایی که از اهمیت کمتری برخوردارند. این واژه گاهی اوقات یک بیانیه متضمن با یک اثبات ساده است در حالی که واژه قضیه هنگامی استفاده می شود که نتیجه مهم یا اثبات دشوارتری در کار باشد. لم یک کمک قضیه است. یک گزاره با کاربرد کمی که بخشی از یک اثبات طولانی را تشکیل می دهد. در برخی موارد که اهمیت نسبی بعضی قضایا روشن شد و گزاره ای که در گذشته لم نامیده می شد قضیه نام گرفت اما واژه لم هم چنان باقی ماند. نتیجه فرعی یا استنباط گزاره ای است بدون اثبات یا با اثباتی کم که از قضیه دیگر یا یک تعریف نتیجه گیری شده است. عکس قضیه گزاره ای است که با معکوس کردن یک قضیه و اثبات آن بدست می آید. همچنین لغاتی وجود دارند که کمتر استفاده می شوند که به طور معمول به اظهارات اثبات شده متصل اند: تطابق، که برای قضایایی که برای بیان برابری دو عبارت ریاضی است مورد استفاده قرار می گیرد. حکم که برای قضایایی که با فرمول منتشر می شود مورد استفاده قرار می گیرد. و هم چنین کلماتی دیگر از جمله قانون و قاعده و ...

ترتیب و طرح بندی (مراحل)[ویرایش]

یک قضیه و اثبات آن به طور معمول به صورت زیر دارای ترتیب هستند: قضیه (اسم شخص اثبات کننده و سال کشف،اثبات یا نشر آن) جملات یک قضیه (معمولا گزاره گفته می شود) اثبات توضیح اثبات نشان خاتمه

انتهای اثبات ممکن است با حروف Q.E.D.( quod erat demonstrandum) علامت گذاری شود یا با یکی از علامات "□" یا "∎" به معنی پایان اثبات می¬باشد که به وسیله پائول هالموس به دنبال موارد استفاده آن¬ها در مقالات مجلات معرفی شد. سبک دقیق بستگی به نویسنده یا انتشارات دارد.بسیاری از انتشارات،ساختارها یا ماکروهایی برای حروف چینی در سبک های خانگی فراهم می کنند. در یک قضیه معمول آن است که بوسیله تعاریفی،مفهوم دقیق شرایط و اصطلاحات استفاده شده در قضیه را شرح می دهند،مقدم بشوند.همچنین معمول است که یک قضیه بوسیله تعداد گزاره ها یا لم ها که در اثبات استفاده شده اند،مقدم بشوند.هر چند،لم ها معمولا در اثبات قضیه جا داده می شوند،چه همراه با اثبات های تودرتو و یا چه همراه با اثبات¬های ارائه شده بعد از اثبات اصلی قضیه. استنباط ها یا نتایج یک قضیه یا بین قضیه و اثبات مطرح می شود یا مستقیما بعد از اثبات.بعضی اوقات،استنباط ها اثبات هایی برای خودشان دارند که توضیح می دهند چرا در اثبات قضیه استفاده شده اند.

تاریخچه[ویرایش]

تخمین زده شده است که بیش از یک چهارم یک میلیون قضیه،هر سال اثبات می شود. جمله معروف "ریاضیدان دستگاهی است برای تبدیل قهوه با قضیه ها" که احتمالا از آلفرد رنیی می باشد؛اگرچه اغلب به همکار رنیی،پائول اردوس،کسی که به خاطر تعداد زیادی قضیه،تعداد و میزان همکاری هایش،و نوشیدن قهوه،مشهور بوده است،نسبت داده شده است (رنیی ممکن است در تفکر مانند اردوس بوده باشد) رده بندی گروه های متناهی ساده توسط برخی درنظر گرفته شده است که طولانی ترین اثبات یک قضیه می باشد که ده ها هزار صفحه در 500 مقاله ژورنال ها بوسیله 100 نویسنده را دربر داشته است.این برگه ها با هم بر این باور بودند که یک اثبات کامل ارائه دهند و چندین پروژه در حال پیشرفت نیز امید دارند که این اثبات را ساده تر کنند. قضیه دیگر از این نوع،قضیه 4 رنگ می باشد که اثبات انجام شده توسط کامپیوتر آنقدر طولانی است که امکان خواندن برای افراد وجود ندارد.دقیقا طولانی ترین اثبات شناخته شده قضیه ای که گزاره آن به سادگی توسط یک شخص عام فهمیده می شود.

قضایا در منطق[ویرایش]

منطق،به ویژه در زمینه اثبات قضیه،قضایا را همانند جملات و گزاره های یک زبان رسمی به حساب می آورد (که به آن فرمول گفته می شود).گزاره های یک زبان رشته های نمادها هستند و ممکن است به طور گسترده به حرف های پوچ و فرمول های خوش فرم تقسیم شوند. مجموعه ای از قوانین قیاس،که قانون تبدیل و دگرگونی و یا قانون استنتاج نیز گفته می شود،باید فراهم گردد. این قوانین دقیقا بیان می کند که چه هنگام یک فرمول می تواند از مجموعه ای از فرضیات قبلی مشتق شود. مجموعه فرمول های خوش فرم ممکن است به طور گسترده به قضایا و غیرقضایا تقسیم شوند.هر چند،با توجه به هافستادتر،یک سیستم صوری،اغلب به طور خیلی ساده فرمول های خوش فرم را مانند قضایا تعریف می کند. مجموعه های متفاوت قوانین استنتاج به تفاسیر گوناگونی از آن چیزی ختم می شود که به معنای بیانی یک قضیه است. بعضی از قوانین استنتاج و زبان های صوری بر آن شده بودند که استدلال ریاضیاتی به دست آورند؛رایج ترین مثال مورد استفاده منطق مرتبه اول می باشد.سایر روش های استنتاجی مدت و شرایط بازنویسی را توضیح می دهد.مانند قوانین کاهش برای حساب لاندا. تعریف قضیه ها به عنوان عناصر زبان صوری نتایج اثبات قضیه را قادر می سازد که ساختار اثبات های صوری و فرمول های قابل اثبات را مورد مطالعه و بررسی قرار دهد. معروف ترین دست آورد،قضیه ناتمامیت گودل می باشد؛با نشان دادن قضایا درباره تئوری اعداد اساسی به عنوان بیانی در زبان صوری،و سپس نشان دادن این زبان همراه باخود نظریه اعداد،گودل مثال هایی از گزاره هایی پدید آورد که با توجه به اصل موضوعه نظریه اعداد نه قابل اثبات هستند نه غیرقابل اثبات. یک قضیه ممکن است در زبان صوری بیان شود. یک قضیه صوری،به طور محض،نظیر صوری قضیه است.در کل،یک قضیه صوری نوعی از فرمول خوش فرم هست که شرایط نحوی و معین منطقی را راضی می کند. مفهوم \vdash Sاغلب استفاده می شود برای آنکه نشان بدهد S یک قضیه است. قضایای صوری از فرمول های زبان صوری و قوانین ترکیب روش صوری تشکیل شده است.به خصوص،یک قضیه صوری همیشه آخرین فرمول یک استنتاج در بعضی روش های صوری است که هر کدام از فرمول ها یک گزاره منطقی است از فرمول هایی که قبلا در استنتاج آمده اند.به فرمول های پذیرفته شده اولیه در استنتاج،اصل موضوعه آن می گویند و بر پایه ای هستند که قضیه استنتاج شده است. به مجموعه ای از قضایا،نظریه می گویند. آنچه که قضایا را مفید و جالب ساخته آن است که آنها می توانند به عنوان یک گزاره حقیقی مطرح بشوند و مشتقات (استنتاج های) آن ها ممکن است به عنوان اثبات درستی گزاره پایانی باشد. مجموعه ای از قضایای صوری ممکن است به عنوان نظریه صوری ارجاع داده شوند.قضیه ای که تفسیر آن گزاره ای درست درباره روش (سیستم) صوری است را قضیه متا می گویند.

صرف و نحو[ویرایش]

مقالات اصلی: صرف (منطق) و معناشناسی صوری (منطق)

مفهوم قضیه صوری اساساً نحوی است و در تضاد با مفهوم گزاره حقیقی است که معناشناسی را معرفی می کند. روشهای استقرایی متفاوت می تواند سایر تفاسیر و تعابیر را با توجه به فرضیات قوانین استنتاج ثمر ببخشد (باور،توجیه و سایر شروط). خوش فکری یک روش صوری بستگی به این دارد که تمامی قضایای آن اعتبار دارد یا خیر. اعتبار فرمولی است که تحت هر تفسیر درست می باشد؛مثلا در گزاره های کلاسیک منطق،اعتبارها حشو و زائد هستند.یک روش (سیستم) صوری هنگامی به صورت معنایی کامل به حساب می آید که تمام حشوهای آن،خود نیز قضایایی هستند.

استنتاج یک قضیه[ویرایش]

مقاله اصلی: اثبات صوری مفهوم قضیه به اثبات صوری آن،به طور خیلی نزدیک به آن مربوط شده است (استنتاج نیز می نامند). برای اینکه نشان بدهند استنتاج ها چگونه انجام می شوند،ما در یک روش (سیستم) صوری بسیار ساده شده عمل خواهیم کرد. فرض کنیم که حروف \mathcal{FS} از دو نماد A و B تشکیل شده است و قانون ترکیب آن برای فرمول برابر است با: "هر رشته از نماد \mathcal{FS} که حداقل طول آن رشته سه است و دارای طول بینهایت نمی باشد"، یک فرمول است. هیچ چیز دیگری فرمول نیست.

تنها اصل موضوعه\mathcal{FS} برابر است با: ABBA تنها قاعده استنتاج ( قانون دگرگونی یا تبدیل) برای \mathcal{FS} برابر است با: هر رخداد A در قضیه،ممکن اس با رخداد رشته AB جایگزین شود و پی آمد آن یک قضیه می باشد. قضایا در \mathcal{FS} طوری تعریف شده اند که با توجه به ان قواعد،یک پایان استنتاجی همراه با آن قاعده داشته باشند. برای مثال: ABBA (به عنوان اصل موضوعه) ABBBA (با اعمال قانون دگرگونی یا تبدیل) ABBBAB (با اعمال قانون دگرگونی یا تبدیل) یک استناج است. بنابراین "ABBBAB" یک قضیه \mathcal{FS} است. مفهوم حقیقت و درستی ( یا نادرستی) نمی تواند به قاعده و فرمول "ABBBAB" اعمال شود مگر اینکه یک تفسیر و تعبیر برای نمادهای آن تعریف شود.در نتیجه در این مثال،قاعده و فرمول هنوز یک گزاره را ارائه و مطرح نمی کند اما صرفا یک انتزاع پوچ می باشد. دو اشتراک موجود در قضایای \mathcal{FS} عبارتند از: هر قضیه با A شروع می شود هر قضیه دقیقا دارای دو A می باشد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Theorem»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۸ فوریهٔ ۲۰۱۱).
  • تاریخ ریاضیات (تألیف:پرویز شهریاری)
  • سیدعلی‌اصغر خندان. مغالطات. ویرایش سوم. چاپ سوم. تهران: بوستان کتاب انتشارات دفتر تبلیغات اسلامی، ۱۳۸۰. ۱۶۳. 
  • لیتهلد، لوئیس. حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی، چاپ بیست و پنجم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۸.ISBN 978-964-01-0261
  • روح‌الله عالمی. منطق. چاپ دوم. تهران: شرکت چاپ و نشر کتاب‌های درسی، ۱۳۸۹.